Nomor 16
Jika tiga bilangan $x$ , $y$, dan $z$ membentuk barisan geometri, maka $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = ...$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri , Suku ke-$n$ : $u_n=ar^{n-1}$
Misalkan suku pertamanya $a$ dan rasionya $r$, maka diperoleh: $x=u_1=a$ , $y=u_2=ar \, $ dan $z=u_3=ar^2$.
$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} &= \frac{1}{a-ar} - \frac{1}{ar-ar^2} \\ &= \frac{1}{a(1-)r} - \frac{1}{ar(1-r)} \\ &=\frac{(r-1)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-(1-r)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-1}{ar} \\ &= \frac{-1}{y} \end{align*}$
Jadi, $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} =\frac{-1}{y} \, \heartsuit$
Misalkan suku pertamanya $a$ dan rasionya $r$, maka diperoleh: $x=u_1=a$ , $y=u_2=ar \, $ dan $z=u_3=ar^2$.
$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} &= \frac{1}{a-ar} - \frac{1}{ar-ar^2} \\ &= \frac{1}{a(1-)r} - \frac{1}{ar(1-r)} \\ &=\frac{(r-1)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-(1-r)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-1}{ar} \\ &= \frac{-1}{y} \end{align*}$
Jadi, $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} =\frac{-1}{y} \, \heartsuit$
Nomor 17
Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. jika jumlah suku ke-1 dan suku ke-3 adalah 30 dan jumlah dari logaritma
suku ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah 3 + log 3, maka suku ke-1 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan barisannya adalah $a $, $b $, dan $c$ . Barisan aritmatika memiliki beda (selisih) yang sama, sehingga
$b-a=c-b \Leftrightarrow a+c =2b$ ... pers(i)
$\clubsuit \,$ Jumlah $u_1$ dan $u_3$ sama dengan 30 : $a+c=30 \Leftrightarrow c=30-a$ ... pers(ii)
$\clubsuit \,$ Jumlah $logu_1$, $logu_2$ , dan $logu_3$ sama dengan $3+log3$.
$\begin{align*} logu_1+logu_2+logu_3 &=3 +log3 \\ log a+log b + log c &= 3.log10 +log3 \\ log(abc)& =log10^3 + log3\\ &=log1000+log3\\ log(abc)&=log3000\\ abc&=3000 \, \text{...pers (iii)} \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke (ii) : $a+c=30 \Leftrightarrow 2b=30 \Leftrightarrow b=15$.
$\clubsuit \,$ Substitusi $b=15$ dan pers(ii) ke pers(iii):
$\begin{align*} abc&=3000 \\ a.15.(30-a)&=3000\\ a^2-30a+200&=0\\ (a-20)(a-10)&=0\\ a=10 \, \text{atau} \, a=20 \end{align*}$
Jadi, suku pertamanya adalah 10 atau 20 . $\heartsuit $
$\clubsuit \,$ Jumlah $u_1$ dan $u_3$ sama dengan 30 : $a+c=30 \Leftrightarrow c=30-a$ ... pers(ii)
$\clubsuit \,$ Jumlah $logu_1$, $logu_2$ , dan $logu_3$ sama dengan $3+log3$.
$\begin{align*} logu_1+logu_2+logu_3 &=3 +log3 \\ log a+log b + log c &= 3.log10 +log3 \\ log(abc)& =log10^3 + log3\\ &=log1000+log3\\ log(abc)&=log3000\\ abc&=3000 \, \text{...pers (iii)} \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke (ii) : $a+c=30 \Leftrightarrow 2b=30 \Leftrightarrow b=15$.
$\clubsuit \,$ Substitusi $b=15$ dan pers(ii) ke pers(iii):
$\begin{align*} abc&=3000 \\ a.15.(30-a)&=3000\\ a^2-30a+200&=0\\ (a-20)(a-10)&=0\\ a=10 \, \text{atau} \, a=20 \end{align*}$
Jadi, suku pertamanya adalah 10 atau 20 . $\heartsuit $
Nomor 18
Diketahui 5 buah truk. Truk A dan B masing-masing memuat 4 ton. Truk C dan D masing-masing memuat 6 ton. Jika truk E memuat 1 ton
lebih dari rata-rata muatan kelima truk, maka muatan truk A + muatan truk E = .... ton
Diketahui : $A$ = 4 ton, $B$ = 4 ton, $C$ = 6 ton, dan $D$ = 6 ton .
$\spadesuit \, E \, $ memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk:
$E=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pers(i):
$\begin{align*} E&=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1 \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5E&=(A+B+C+D+E) +5 \\ 5E&=4+4+6+6+E +5 \\ 4E&=25 \\ E&=\frac{25}{4} \\ E&=6,25 \end{align*}$
Sehingga : $A+E=4+6,25=10,25 \, \heartsuit $
$\spadesuit \, E \, $ memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk:
$E=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pers(i):
$\begin{align*} E&=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1 \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5E&=(A+B+C+D+E) +5 \\ 5E&=4+4+6+6+E +5 \\ 4E&=25 \\ E&=\frac{25}{4} \\ E&=6,25 \end{align*}$
Sehingga : $A+E=4+6,25=10,25 \, \heartsuit $
Nomor 19
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3.
Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika, jumlah $n$ suku pertama : $S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right)$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4}{4}=8 \Leftrightarrow \frac{S_4}{4}=8 \Leftrightarrow S_4=32 \Leftrightarrow \frac{4}{2}(2a+3b)=32 \\ \Leftrightarrow 2a+3b=16 ...\text{pers(i)}$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 9 suku pertama adalah 3 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_9}{4}=3 \Leftrightarrow \frac{S_9}{9}=3 \Leftrightarrow S_9=27 \Leftrightarrow \frac{9}{2}(2a+8b)=27 \\ \Leftrightarrow a+4b=3 \Leftrightarrow a=3-4b ...\text{pers(ii)}$
$\clubsuit \, $ Substitusi dan eliminasi pers(i) dan (ii) , diperoleh $a=11$ dan $ b=-2$.
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $S_n$ :
$\begin{align*} S_n&=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &=\frac{n}{2}\left( 2.11+(n-1).(-2) \right) \\ &=n(11=+1-n)\\ &=12n-n^2 \end{align*}$
Jadi, $S_n=12n-n^2 \, \heartsuit$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4}{4}=8 \Leftrightarrow \frac{S_4}{4}=8 \Leftrightarrow S_4=32 \Leftrightarrow \frac{4}{2}(2a+3b)=32 \\ \Leftrightarrow 2a+3b=16 ...\text{pers(i)}$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 9 suku pertama adalah 3 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_9}{4}=3 \Leftrightarrow \frac{S_9}{9}=3 \Leftrightarrow S_9=27 \Leftrightarrow \frac{9}{2}(2a+8b)=27 \\ \Leftrightarrow a+4b=3 \Leftrightarrow a=3-4b ...\text{pers(ii)}$
$\clubsuit \, $ Substitusi dan eliminasi pers(i) dan (ii) , diperoleh $a=11$ dan $ b=-2$.
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $S_n$ :
$\begin{align*} S_n&=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &=\frac{n}{2}\left( 2.11+(n-1).(-2) \right) \\ &=n(11=+1-n)\\ &=12n-n^2 \end{align*}$
Jadi, $S_n=12n-n^2 \, \heartsuit$
Nomor 20
Diberikan fungsi - fungsi $f$ dan $g$ dengan persamaan $f(x)=x^2 , x\leq 0$ dan $g(x)=-\sqrt{x} , x \geq 0$ .
Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$ , maka $(f^{-1}og)(x)=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $f(x)$:
$ f(x)=x^2 \Leftrightarrow y=x^2 \Leftrightarrow x=-\sqrt{y} \, \text{(karena} \, x\leq 0 )$ ,
sehingga $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(f^{-1}og)(x)$ :
$\begin{align*} (f^{-1}og)(x) &= f^{-1}\left( g(x) \right) \\ &= f^{-1}\left( -\sqrt{x} \right) \\ &=-\sqrt{-\sqrt{x}} \end{align*}$
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{x}}$ tidak terdefinisi karena di dalam akar tidak boleh negatif. Akan tetapi berdasarkan syarat $x\leq 0$ untuk $f(x)$ dan $x \geq 0$ untuk $g(x)$ , maka nilai $x$ yang berlaku sama dengan nol, sehingga:
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{0}} \Leftrightarrow (f^{-1}og)(x)=0. $
Jadi, $(f^{-1}og)(x)=0 \, \heartsuit $
$ f(x)=x^2 \Leftrightarrow y=x^2 \Leftrightarrow x=-\sqrt{y} \, \text{(karena} \, x\leq 0 )$ ,
sehingga $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(f^{-1}og)(x)$ :
$\begin{align*} (f^{-1}og)(x) &= f^{-1}\left( g(x) \right) \\ &= f^{-1}\left( -\sqrt{x} \right) \\ &=-\sqrt{-\sqrt{x}} \end{align*}$
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{x}}$ tidak terdefinisi karena di dalam akar tidak boleh negatif. Akan tetapi berdasarkan syarat $x\leq 0$ untuk $f(x)$ dan $x \geq 0$ untuk $g(x)$ , maka nilai $x$ yang berlaku sama dengan nol, sehingga:
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{0}} \Leftrightarrow (f^{-1}og)(x)=0. $
Jadi, $(f^{-1}og)(x)=0 \, \heartsuit $
