Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Kurva $y=3x-\frac{3}{x^2}$ memotong sumbu $x$ di titik P. Persamaan garis singgung kurva di titk P adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik P :
$y=3x-\frac{3}{x^2}$ memotong sumbu $x$ di titik P sehingga $y=0$
$3x-\frac{3}{x^2}=0 \Leftrightarrow 3x^3-3=0 \Leftrightarrow 3(x^3-1)=0 \Leftrightarrow x=1$, titki P(1,0)
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien ($m$) dengan turunan : $m=f^\prime (x_1)$
$f^\prime (x) = 3+\frac{6}{x^3} \Leftrightarrow m=f^\prime (1) = 3+\frac{6}{1^3} = 9$
$\spadesuit \, $ Persamaan garis singgung di titik P(1,0) dan $m=9$ : $y-y_1=m(x-x_1)$
$y-y_1=m(x-x_1) \Leftrightarrow y-0=9(x-1) \Leftrightarrow y=9x-9 \Leftrightarrow 9x-y-9=0. \heartsuit $
Nomor 7
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^2-2x+k+1$ di dua titik, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
$\clubsuit \, $ Syarat garis memotong parabola di dua titik : $D > 0$
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x-3y+5k-1=0 & ...\text{persmaan (i)} \\ y=x^2-2x+k+1 & ...\text{persmaan (ii)} \end{array} \right.$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} 2x-3y+5k-1&=0 \\ 2x-3(x^2-2x+k+1)+5k-1&=0\\ -3x^2+8x+(2k-4)&=0 \\ a=-3, b=8, c&=2k-4\\ D > 0 \Leftrightarrow b^2-4ac &>0 \\ 8^2-4(-3)92k-4) &>0 \\ 24k&>-16\\ k>\frac{-16}{24} \Leftrightarrow k&>\frac{-2}{3} \end{align*}$
Jadi nilai $k$ yang memenuhi adalah $k>\frac{-2}{3} \heartsuit$
Nomor 8
Diberikan sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} (a-1)x+(b-1)y=0 \\ (b+1)x+(a+1)y=0 \end{array} \right. $ dengan $a\neq b$ . Agar penyelesaian sistem persamaan di atas tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a+b = ...$
$\left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ px+qy=r \end{array} \right. $ mempunyai banyak solusi jika $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}$
$\left\{ \begin{array}{c} (a-1)x+(b-1)y=0 \\ (b+1)x+(a+1)y=0 \end{array} \right. $ dengan $a\neq b$
mempunyai penyelesaian selain $(x,y)=(0,0)$ , ini artinya solusinya banyak, sehingga diperoleh : $\frac{a-1}{b+1}=\frac{b-1}{a+1}$
$\begin{align*} \frac{a-1}{b+1}&=\frac{b-1}{a+1} \\ (a-1)(a+1)&=(b-1)(b+1)\\ a^2-1&=b^2-1\\ a^2-b^2&=0\\ (a-b)(a+b)&=0\\ a-b=0 \, & \text{atau} \, a+b=0 \end{align*}$
Karena $a\neq b$ , maka tidak mungkin $a-b=0$ , sehingga haruslah $a+b=0$.
Jadi, $a+b=0 \heartsuit$
Nomor 9
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-2x-3}{x-2} < x+5$ adalah ...
$\begin{align*} \frac{x^2-2x-3}{x-2} &< x+5 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - (x+5) &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{(x+5)(x-2)}{x-2} &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{x^2+3x-10}{x-2} &< 0 \\ \frac{-5x+7}{x-2} &< 0 \\ \text{akar-akarnya: } \, x=7/5 \, & \text{atau} \, x=2 \end{align*}$
um_ugm2_matdas_2014.png
Jadi, HP = $\{ x < \frac{7}{5} \, \text{atau} \, x>2 \, \}\heartsuit $
Nomor 10
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(a+5)x+5a=0$ , maka nilai minimum dari $\alpha^2+\beta^2$ adalah ...
$x^2-(a+5)x+5a=0 \, $ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$
$\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 &= (\alpha + \beta)^2-2\alpha \beta \\ &= \left( \frac{-b}{a} \right)^2 - 2.\frac{c}{a} \\ &= \left( \frac{a+5}{1} \right)^2 - 2.\frac{5a}{1} \\ \alpha^2+\beta^2 &=a^2+25 \\ f(a)&= a^2+25 \end{align*}$
Nilai minimum $\alpha^2+\beta^2$ sama dengan nilai minimum $f(a)$ : $f^\prime (a)=0$
$\begin{align*} f(a)&= a^2+25 \\ f^\prime (a)&= 0 \\ 2a&=0 \Leftrightarrow a=0 \end{align*}$
Sehingga nilai minimum $f(a)$ saat $a=0$, $f(0)=0^2+25=25.$
Jadi, nilai minimum $\alpha^2+\beta^2=25. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar