Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 122 tahun 2012 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 6. Jika bilangan yang terbesar ditambah 12, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika dengan beda 6 :
misalkan : $a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terbesar ditambah 12 , membentuk barisan geometri :
$a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12 + 12$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+6}{a} & = \frac{a+24}{a+6} \\ (a+6)(a+6) & = a(a+24) \\ a^2 + 12a + 36 & = a^2 + 24a \\ 24a - 12 a & = 36 \\ 12a &= 36 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+6) + (a+12) = 3 + (3+6)+(3+12) = 27 $
Jadi, jumlahnya adalah 27. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $S_n=5n^2-6n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka suku ke-5 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $U_n = S_n - S_{n-1}$
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_5 & = S_5 - S_4 \\ & = (5.5^2-6.5) - (5.4^2-6.4) \\ & = (125-30) - (80 - 24) \\ & = 95 - 56 \\ & = 39 \end{align} $
Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah 39.$ \heartsuit $
Nomor 13
Jika suatu persegi dengan panjang sisi satu satuan dibagi menjadi 5 persegi panjang dengan luas yang sama seperti ditunjukkan pada gambar, maka panjang ruas garis AB adalah ...
snmptn_matdas_k122_2_2012.png
Cara I :
snmptn_matdas_k122_5_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas setiap persegi panjang kecil :
Luas persegi besar = 1 $\times$ 1 = 1 .
Karena setiap persegipanjang kecil luasnya sama, dan persegi besar dibagi menjadi lima, maka setip bangun datar kecil luasnya $\frac{1}{5}$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $y$ dari luas bangun $Q$ :
$\begin{align} \text{Luas}_Q & = 1 \times (1-2y) \\ \frac{1}{5} & = 1-2y \\ y & = \frac{2}{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ dari luas bangun $P$ :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = x . y \\ \frac{1}{5} & = x . \frac{2}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $

Cara II :
snmptn_matdas_k122_5_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ tanpa menentukan nilai $y$ dulu :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \frac{1}{2} .\text{Luas}_{(M+N)} \\ x.y & = \frac{1}{2} . 2y . (1-x) \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Atau cara lainnya :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \text{Luas}_{M} \\ x.y & = 2y . \frac{(1-x)}{2} \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Seorang pengusaha dengan modal Rp10.000.000,00, menghasilkan produk A dan B yang masing-masing memberi keuntungan 8% dan 10% per bulan. Jika kedua jenis produk menghasilkan keuntungan Rp904.000,00 setiap bulan, maka modal produk A adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan : modal A = $x$ dan modal B = $y$
total modal : $x+y = 10.000.000 \, $ pers(i)
$\clubsuit \, $ keuntungan A = 8% $x = \frac{8}{100}x \, $ dan keuntungan B = 10% $y = \frac{10}{100}y $
Total keuntungan :
$\frac{8}{100}x + \frac{10}{100}y = 904.000 \Rightarrow 8x + 10 y = 90 . 400.000 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc|cc} x+y = 10.000.000 & \text{(kali 10)} & 10x + 10 y = 100.000.000 & \\ 8x + 10 y = 90 . 400.000 & \text{(kali 1)} & 8x + 10 y = 90.400.000 & - \\ \hline & & 2x = 9.600.000 & \\ & & x = 4.800.000 & \end{array}$
Jadi, modal produk A sebesar Rp4.800.000,00 . $ \heartsuit $
Nomor 15
Jika $f(x)=ax+3$ dan $f(f(x))=4x+9$ , maka nilai $a^2+3a+3$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Materi komposisi fungsi :
$\begin{align} f(f(x)) & =4x+9 \\ f(ax+3) & =4x+9 \\ a(ax+3)+3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a + 3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a & = 4x+6 \end{align}$
Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka koefisien setiap suku harus nilainya sama.
Diperoleh : $a^2 = 4 \,$ dan $\, 3a = 6$
sehingga nilai $a^2+3a+3 = 4 + 6 + 3 = 13.$
Jadi, nilai $a^2+3a+3=13. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

3 komentar:

  1. Hallow @Fiqih,

    Terima kasih untuk pertanyaannya.

    Pertama adalah proses komposisi fungsi :
    $ f(x) = ax + 3 $
    $ f(f(x)) = f(ax+3) = a(ax+3) + 3 = a^2x + 3a + 3 $
    Sehigga :
    $ f(f(x)) = 4x + 9 $
    $ a^2x + 3a + 3 = 4x + 9 $
    $ a^2x + 3a = 4x + 6 $
    Tinggal kita samakan koefisien dari ruas kiri dan ruas kanannya yaitu :
    koefisien $ x $ : $ a^2 = 4 $
    konstanta : $ 3a = 6$

    Seperti itu penjelasannya.

    Semoga bermanfaat.

    Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

    BalasHapus