Nomor 1
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{43}$ , maka nilai $a$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar :
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ dan $\, a^m . a^n = a^{m+n} $
Definisi logaritma : $^b \log a = c \Leftrightarrow a = b^c $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align} 6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3.(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \, \, (\text{dibagi } \, 3^{41} \, ) \\ \frac{2.(3^{41})(^2 \log a)}{3^{41}}+ \frac{ 3^{41}(^2 \log a) }{3^{41}} & = \frac{3^{43}}{3^{41}} \\ 2.(^2 \log a) + (^2 \log a) & = 3^2 \\ 3.(^2 \log a) & = 9 \\ (^2 \log a) & = 3 \\ a & = 2^3 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $a=8 . \, \heartsuit $
Definisi logaritma : $^b \log a = c \Leftrightarrow a = b^c $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align} 6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3.(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \, \, (\text{dibagi } \, 3^{41} \, ) \\ \frac{2.(3^{41})(^2 \log a)}{3^{41}}+ \frac{ 3^{41}(^2 \log a) }{3^{41}} & = \frac{3^{43}}{3^{41}} \\ 2.(^2 \log a) + (^2 \log a) & = 3^2 \\ 3.(^2 \log a) & = 9 \\ (^2 \log a) & = 3 \\ a & = 2^3 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $a=8 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0, \, $ maka nilai $a+b$ adalah ...
$\spadesuit \, $ 2 adalah satu-satunya akar, artinya akarnya sama/kembar : $x_1=2, \, x_2=2$
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah dan kali akar-akar :
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \Rightarrow 2 + 2 = \frac{-b}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = -4b \Rightarrow b = -1 $
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 . 2 = \frac{a}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 $
Sehingga , $a+b = 1 + (-1) = 0 $
Jadi, nilai $a+b = 0 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah dan kali akar-akar :
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \Rightarrow 2 + 2 = \frac{-b}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = -4b \Rightarrow b = -1 $
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 . 2 = \frac{a}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 $
Sehingga , $a+b = 1 + (-1) = 0 $
Jadi, nilai $a+b = 0 . \heartsuit $
Nomor 3
Bangun berikut adalah suatu persegi.
Jika luas persegi A, B, dan C berturut-turut adalah 16, 36, dan 9, maka luas daerah yang diarsir adalah ...
Jika luas persegi A, B, dan C berturut-turut adalah 16, 36, dan 9, maka luas daerah yang diarsir adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan luas persegi besar dan luas D :
Luas persegi besar : Luas Besar = 13 $\times$ 13 = 169
Daerah D adalah segitiga dengan panjang alas 6 dan tingginya 7
Luas D = $\frac{1}{2}at = \frac{1}{2}.6.7=21$
$\clubsuit \, $ Menentukan Luas arsiran :
$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = \, \text{Luas Besar} - (\text{Luas A + Luas B + Luas C + Luas D}) \\ &= 169 - (16+36+9+21) \\ &= 169 - 82 \\ & = 87 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 87. $\heartsuit $
Nomor 4
Fungsi $f(x,y)=cx+4y$ dengan kendala : $2x+y \geq 10, \, x+2y \geq 8 , \, x \geq 0 , \, $ dan $\, y \geq 0, \, $
mencapai minimum di (4,2), jika ...
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan program linier dengan metode gradien :
$\spadesuit \, $ Cek letak titik (4,2) ke persamaan dengan cara substitusi
$2x+y = 2.4+2=10 \, $ (benar) dan $x+2y = 4+2.2=8 \, $ (benar) ,
artinya titik (4,2) ada pada perpotongan kedua garis.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien : $ax + by = c \Rightarrow m (\text{gradien})=\frac{-a}{b}$
$2x+y = 10 \Rightarrow m_1 = \frac{-2}{1} = -2 $
$x+2y = 8 \Rightarrow m_2 = \frac{-1}{2} $
gradien fungsi tujuan : $f(x,y)=cx+4y \Rightarrow m = \frac{-c}{4} $
$\spadesuit \, $ Berdasarkan Metode gradien menyatakan :
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan/sasaran/objektif terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak diantara gradien garis kendalanya.
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $c$ berdasarkan Metode gradien :
$\begin{align} m_1 \leq & m \leq m_2 \\ -2 \leq & \frac{-c}{4} \leq \frac{-1}{2} \, \, \text{(kali 4)} \\ -8 \leq & -c \leq -2 \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 8 \geq & c \geq 2 \\ \text{(atau)} & \\ 2 \leq & c \leq 8 \end{align}$
Jadi, interval $c$ adalah $2 \leq c \leq 8. \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Cek letak titik (4,2) ke persamaan dengan cara substitusi
$2x+y = 2.4+2=10 \, $ (benar) dan $x+2y = 4+2.2=8 \, $ (benar) ,
artinya titik (4,2) ada pada perpotongan kedua garis.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien : $ax + by = c \Rightarrow m (\text{gradien})=\frac{-a}{b}$
$2x+y = 10 \Rightarrow m_1 = \frac{-2}{1} = -2 $
$x+2y = 8 \Rightarrow m_2 = \frac{-1}{2} $
gradien fungsi tujuan : $f(x,y)=cx+4y \Rightarrow m = \frac{-c}{4} $
$\spadesuit \, $ Berdasarkan Metode gradien menyatakan :
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan/sasaran/objektif terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak diantara gradien garis kendalanya.
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $c$ berdasarkan Metode gradien :
$\begin{align} m_1 \leq & m \leq m_2 \\ -2 \leq & \frac{-c}{4} \leq \frac{-1}{2} \, \, \text{(kali 4)} \\ -8 \leq & -c \leq -2 \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 8 \geq & c \geq 2 \\ \text{(atau)} & \\ 2 \leq & c \leq 8 \end{align}$
Jadi, interval $c$ adalah $2 \leq c \leq 8. \heartsuit $
Nomor 5
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu-X positif dan sumbu-X negatif, maka ...
$\clubsuit \, $ Deskripsi gambarnya :
Dari gambar, kurva hadap ke atas atau nilai minimum, sehingga nilai $a$ adalah positif ($a > 0 $)
$c$ adalah titik potong kurva terhadap sumbu-Y (saat $x=0$), karena kurva memotong sumbu-Y di bawah , maka nilai $c$ adalah negatif ($c < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Operasi $a$ dan $c$ yang pasti :
$a - c > 0 \, $ (positif dikurangi negatif hasilnya positif) ,
$\, c - a < 0 $ (negatif dikurangi positif hasilnya negatif) ,
$a \times c < 0 $ (positif dikali negatif hasilnya negatif) , dan
$\frac{a}{c} < 0 $ (positif dibagi negatif hasilnya negatif) , atau
$\frac{c}{a} < 0 $ (negatif dibagi positif hasilnya negatif)
Jadi, nilai yang pasti adalah $a - c > 0 . \heartsuit$
Dari gambar, kurva hadap ke atas atau nilai minimum, sehingga nilai $a$ adalah positif ($a > 0 $)
$c$ adalah titik potong kurva terhadap sumbu-Y (saat $x=0$), karena kurva memotong sumbu-Y di bawah , maka nilai $c$ adalah negatif ($c < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Operasi $a$ dan $c$ yang pasti :
$a - c > 0 \, $ (positif dikurangi negatif hasilnya positif) ,
$\, c - a < 0 $ (negatif dikurangi positif hasilnya negatif) ,
$a \times c < 0 $ (positif dikali negatif hasilnya negatif) , dan
$\frac{a}{c} < 0 $ (positif dibagi negatif hasilnya negatif) , atau
$\frac{c}{a} < 0 $ (negatif dibagi positif hasilnya negatif)
Jadi, nilai yang pasti adalah $a - c > 0 . \heartsuit$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.