Nomor 11
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 6. Jika bilangan yang terbesar ditambah 12, maka diperoleh
barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika dengan beda 6 :
misalkan : $a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terbesar ditambah 12 , membentuk barisan geometri :
$a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12 + 12$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+6}{a} & = \frac{a+24}{a+6} \\ (a+6)(a+6) & = a(a+24) \\ a^2 + 12a + 36 & = a^2 + 24a \\ 24a - 12 a & = 36 \\ 12a &= 36 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+6) + (a+12) = 3 + (3+6)+(3+12) = 27 $
Jadi, jumlahnya adalah 27. $ \heartsuit $
misalkan : $a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terbesar ditambah 12 , membentuk barisan geometri :
$a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12 + 12$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+6}{a} & = \frac{a+24}{a+6} \\ (a+6)(a+6) & = a(a+24) \\ a^2 + 12a + 36 & = a^2 + 24a \\ 24a - 12 a & = 36 \\ 12a &= 36 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+6) + (a+12) = 3 + (3+6)+(3+12) = 27 $
Jadi, jumlahnya adalah 27. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $S_n=5n^2-6n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka suku ke-5 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $U_n = S_n - S_{n-1}$
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_5 & = S_5 - S_4 \\ & = (5.5^2-6.5) - (5.4^2-6.4) \\ & = (125-30) - (80 - 24) \\ & = 95 - 56 \\ & = 39 \end{align} $
Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah 39.$ \heartsuit $
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_5 & = S_5 - S_4 \\ & = (5.5^2-6.5) - (5.4^2-6.4) \\ & = (125-30) - (80 - 24) \\ & = 95 - 56 \\ & = 39 \end{align} $
Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah 39.$ \heartsuit $
Nomor 13
Jika suatu persegi dengan panjang sisi satu satuan dibagi menjadi 5 persegi panjang dengan luas yang sama seperti ditunjukkan
pada gambar, maka panjang ruas garis AB adalah ...
Cara I :
$\spadesuit \, $ Menentukan luas setiap persegi panjang kecil :
Luas persegi besar = 1 $\times$ 1 = 1 .
Karena setiap persegipanjang kecil luasnya sama, dan persegi besar dibagi menjadi lima, maka setip bangun datar kecil luasnya $\frac{1}{5}$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $y$ dari luas bangun $Q$ :
$\begin{align} \text{Luas}_Q & = 1 \times (1-2y) \\ \frac{1}{5} & = 1-2y \\ y & = \frac{2}{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ dari luas bangun $P$ :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = x . y \\ \frac{1}{5} & = x . \frac{2}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan luas setiap persegi panjang kecil :
Luas persegi besar = 1 $\times$ 1 = 1 .
Karena setiap persegipanjang kecil luasnya sama, dan persegi besar dibagi menjadi lima, maka setip bangun datar kecil luasnya $\frac{1}{5}$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $y$ dari luas bangun $Q$ :
$\begin{align} \text{Luas}_Q & = 1 \times (1-2y) \\ \frac{1}{5} & = 1-2y \\ y & = \frac{2}{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ dari luas bangun $P$ :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = x . y \\ \frac{1}{5} & = x . \frac{2}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
Cara II :
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ tanpa menentukan nilai $y$ dulu :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \frac{1}{2} .\text{Luas}_{(M+N)} \\ x.y & = \frac{1}{2} . 2y . (1-x) \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Atau cara lainnya :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \text{Luas}_{M} \\ x.y & = 2y . \frac{(1-x)}{2} \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ tanpa menentukan nilai $y$ dulu :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \frac{1}{2} .\text{Luas}_{(M+N)} \\ x.y & = \frac{1}{2} . 2y . (1-x) \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Atau cara lainnya :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \text{Luas}_{M} \\ x.y & = 2y . \frac{(1-x)}{2} \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Seorang pengusaha dengan modal Rp10.000.000,00, menghasilkan produk A dan B yang masing-masing memberi keuntungan 8% dan 10% per bulan.
Jika kedua jenis produk menghasilkan keuntungan Rp904.000,00 setiap bulan, maka modal produk A adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan : modal A = $x$ dan modal B = $y$
total modal : $x+y = 10.000.000 \, $ pers(i)
$\clubsuit \, $ keuntungan A = 8% $x = \frac{8}{100}x \, $ dan keuntungan B = 10% $y = \frac{10}{100}y $
Total keuntungan :
$\frac{8}{100}x + \frac{10}{100}y = 904.000 \Rightarrow 8x + 10 y = 90 . 400.000 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc|cc} x+y = 10.000.000 & \text{(kali 10)} & 10x + 10 y = 100.000.000 & \\ 8x + 10 y = 90 . 400.000 & \text{(kali 1)} & 8x + 10 y = 90.400.000 & - \\ \hline & & 2x = 9.600.000 & \\ & & x = 4.800.000 & \end{array}$
Jadi, modal produk A sebesar Rp4.800.000,00 . $ \heartsuit $
total modal : $x+y = 10.000.000 \, $ pers(i)
$\clubsuit \, $ keuntungan A = 8% $x = \frac{8}{100}x \, $ dan keuntungan B = 10% $y = \frac{10}{100}y $
Total keuntungan :
$\frac{8}{100}x + \frac{10}{100}y = 904.000 \Rightarrow 8x + 10 y = 90 . 400.000 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc|cc} x+y = 10.000.000 & \text{(kali 10)} & 10x + 10 y = 100.000.000 & \\ 8x + 10 y = 90 . 400.000 & \text{(kali 1)} & 8x + 10 y = 90.400.000 & - \\ \hline & & 2x = 9.600.000 & \\ & & x = 4.800.000 & \end{array}$
Jadi, modal produk A sebesar Rp4.800.000,00 . $ \heartsuit $
Nomor 15
Jika $f(x)=ax+3$ dan $f(f(x))=4x+9$ , maka nilai $a^2+3a+3$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Materi komposisi fungsi :
$\begin{align} f(f(x)) & =4x+9 \\ f(ax+3) & =4x+9 \\ a(ax+3)+3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a + 3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a & = 4x+6 \end{align}$
Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka koefisien setiap suku harus nilainya sama.
Diperoleh : $a^2 = 4 \,$ dan $\, 3a = 6$
sehingga nilai $a^2+3a+3 = 4 + 6 + 3 = 13.$
Jadi, nilai $a^2+3a+3=13. \heartsuit $
$\begin{align} f(f(x)) & =4x+9 \\ f(ax+3) & =4x+9 \\ a(ax+3)+3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a + 3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a & = 4x+6 \end{align}$
Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka koefisien setiap suku harus nilainya sama.
Diperoleh : $a^2 = 4 \,$ dan $\, 3a = 6$
sehingga nilai $a^2+3a+3 = 4 + 6 + 3 = 13.$
Jadi, nilai $a^2+3a+3=13. \heartsuit $
nmr 15 tidak paham saya
BalasHapusknp bisa bgt aljabarnya
BalasHapusHallow @Fiqih,
BalasHapusTerima kasih untuk pertanyaannya.
Pertama adalah proses komposisi fungsi :
$ f(x) = ax + 3 $
$ f(f(x)) = f(ax+3) = a(ax+3) + 3 = a^2x + 3a + 3 $
Sehigga :
$ f(f(x)) = 4x + 9 $
$ a^2x + 3a + 3 = 4x + 9 $
$ a^2x + 3a = 4x + 6 $
Tinggal kita samakan koefisien dari ruas kiri dan ruas kanannya yaitu :
koefisien $ x $ : $ a^2 = 4 $
konstanta : $ 3a = 6$
Seperti itu penjelasannya.
Semoga bermanfaat.
Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.