Pembahasan pertidaksamaan mutlak dan pecahan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \{x \in R | a \leq x \leq b \} \, $ adalah himpunan semua bilangan real yang bukan penyelesaian
                  $ \frac{1}{x+1} < 1 + \sqrt{x^2} $
maka nilai $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pembahasan soal pertidaksamaan mutlak dan pecahan UM UGM tahun 2016 kode 571 ini tergolong agak sulit karena yang akan nampak bukan bentuk mutlak tapi seolah-olah bentuk akar. Bentuk $ \sqrt{x^2} \, $ tidak boleh kita ubah menjadi $ x \, $ karena bentuk tersebut adalah bentuk lain dari nilai mutlak yaitu $ \sqrt{x^2} = |x| $. Langkah-langkah dalam pengerjaannya yaitu pertama kita pecah dulu nilai mutlaknya (hilangkan nilai mutlaknya) menggunakan definisi harga mutlak, kemudian kita selesaikan pertidaksamaannya dalam bentuk pecahan. Silahkan baca materi pertidaksamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan pecahan agar lebih mudah dalam memahami pembahasannya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Definisi Nilai Mutlak :
$ |x| = \sqrt{x^2} = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Artinya dari definisi ini, soal kita bagi menjadi dua kasus yaitu untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x \, $ dan untuk $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x \, $
Adapaun soalnya bisa ditulis ulang :
$ \frac{1}{x+1} < 1 + \sqrt{x^2} \, $ menjadi $ \frac{1}{x+1} < 1 + |x| $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kasus pertama, untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{1}{x+1} & < 1 + |x| \\ \frac{1}{x+1} & < 1 + x \\ \frac{1}{x+1} - (x + 1) & < 0 \\ \frac{1}{x+1} - \frac{(x + 1)^2}{x+1} & < 0 \\ \frac{1 - (x + 1)^2}{x+1} & < 0 \\ \frac{-x^2 - 2x}{x+1} & < 0 \\ \frac{-x(x+2)}{x+1} & < 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ -x(x+2) = 0 \rightarrow x & = 0 \vee x = -2 \\ x+1 = 0 \rightarrow x & = -1 \end{align} $

solusinya : $ \{-2 < x < -1 \vee x > 0 \} $ .
Namun dari kasus pertama ini hanya untuk $ x \geq 0 \, $ sehingga himpunan penyelesaian pada kasus pertama adalah irisannya : $ \{-2 < x < -1 \vee x > 0 \} \cap \{ x \geq 0 \} = \{ x > 0 \} $ .
Kita peroleh $ HP1 = \{ x > 0 \} $ .
*). Kasus kedua, untuk $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{1}{x+1} & < 1 + |x| \\ \frac{1}{x+1} & < 1 - x \\ \frac{1}{x+1} + x - 1 & < 0 \\ \frac{1}{x+1} + \frac{( x - 1)(x+1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{1 + (x + 1)(x-1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{ x^2 }{x+1} & < 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ x^2 = 0 \rightarrow x & = 0 \\ x+1 = 0 \rightarrow x & = -1 \end{align} $

 
solusinya : $ \{ x < -1 \} $ .
Namun dari kasus pertama ini hanya untuk $ x < 0 \, $ sehingga himpunan penyelesaian pada kasus kedua adalah irisannya : $ \{ x < -1 \} \cap \{ x < 0 \} = \{ x < -1 \} $ .
Kita peroleh $ HP2 = \{ x < -1 \} $ .
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
HP = $ \{ x > 0 \} \cup \{ x < -1 \} = \{ x < -1 \vee x > 0 \} $ .
Sehingga yang bukan menjadi penyelesaiannya adalah $ \{ -1 \leq x \leq 0 \} \, $ yang sama dengan bentuk $ \{ a \leq x \leq b \} \, $ , maka kita peroleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 0 $.
*). Menentukan haasil $ a + b $
$ a + b = -1 + 0 = -1 $.
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         untuk pengerjaan tipe soal yang melibatkan lebih dari satu materi memang agak sulit dan butuh ketelitian tentunya. Dari definisi nilai mutlak, hasil akhirnya digabungkan dari kedua kasus yang ada.



3 komentar:

  1. kak, dari mana ya kita tau dia itu mutlak atau tidak?

    BalasHapus
  2. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  3. Soalnya akar x^2 bisa didapat dari - dan +, makanya jadi mutlak karna bisa dua2nya

    Menurutku

    BalasHapus