Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2016 kode 571. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2016 kode 571. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2016 Matematika Dasar Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun Persamaan dengan substitusi ke $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ \begin{align} f(2) = 0 \rightarrow a.2^2 + b.2 + c & = 0 \\ 4a + 2b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ f(4) = 0 \rightarrow a.4^2 + b.4 + c & = 0 \\ 16a + 4b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ (x,y)=(3,2) \rightarrow a.3^2 + b.3 + c & = 2 \\ 9a + 3b + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). ELiminasi persamaan yang terbentuk :
-). pers(i) dan (ii) : $ 12a + 2b = 0 \rightarrow b = -6a \, $ .....(iv) :
-). pers(i) dan (iii) : $ 5a + b = 2 \, $ .....(v)
-). Substitusi pers(iv) ke (v) :
$ 5a + b = 2 \rightarrow 5a + (-6a) = 2 \rightarrow a = -2 $
pers(iv) : $ b = -6a = -6.(-2) = 12 $
pers(i) : $ 4a + 2b + c = 0 \rightarrow 4.(-2) + 2.12 + c = 0 \rightarrow c = -16 $
Sehingga nilai $ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \{ x | a < x < b \} \, $ adalah himpunan penyelesaian $ 4^{x^2 + x} - 2^{5x + 2} < 0 \, $ maka $ ab = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Pertidaksamaan eksponen :
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ Memiliki solusi :
Untuk $ a > 1 , \, $ maka $ f(x) < g(x) $ atau
Untuk $ a < 1 , \, $ maka $ f(x) > g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} 4^{x^2 + x} - 2^{5x + 2} & < 0 \\ 4^{x^2 + x} & < 2^{5x + 2} \\ (2^2)^{x^2 + x} & < 2^{5x + 2} \\ 2^{2x^2 + 2x} & < 2^{5x + 2} \\ 2x^2 + 2x & < 5x + 2 \\ 2x^2 - 3x - 2 & < 0 \\ (2x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
 
Sehingga solusinya $\{ -\frac{1}{2} < x < 2\} $
yang sama dengan $\{ a < x < b \} , \, $
artinya $ a = -\frac{1}{2} \, $ dan $ b = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$ ab = -\frac{1}{2} \times 2 = -1 $.
Jadi, nilai $ ab = -1 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3p-2)x + ( 2p+8) = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ p \, $ positif dan $ x_1, p , x_2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + p + x_2 = .... $
A). $ -11 \, $ B). $ -10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat (PK) :
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $,
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan (rasio) yang sama antara dua suku berdekatan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui PK : $ x^2 - (3p-2)x + (2p+8) = 0 \, $ , akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ a = 1, \, b = -(3p-2) , \, $ dan $ c = (2p+8) $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(3p-2)]}{1} = 3p - 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2p+8}{1} = 2p+8 $
*). Barisan geometri : $ x_1, \, p, \, x_2 $
Perbandingan sama :
$ \begin{align} \frac{p}{x_1} & = \frac{x_2}{p} \\ p^2 & = x_1.x_2 \\ p^2 & = 2p+8 \\ p^2 - 2p - 8 & = 0 \\ (p+2)(p-4) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 4 \, $ karena positif.
Sehingga nilai : $ x_1 + x_ 2 = 3p - 2 = 3.4 - 2 = 10 $.
*). Menentukan hasil dari $ x_1 + p + x_ 2 $
$ x_1 + p + x_ 2 = (x_1 + x_2) + p = 10 + 4 = 14 $.
Jadi, nilai $ x_1 + p + x_ 2 = 14 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Eksponen dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ positif memenuhi persamaan $ {}^2 \log (xy-2y) = 1 + {}^2 \log 5 \, $ dan $ \frac{3^{3x}}{9} = 3^{2y} , \, $ maka $ x + y = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Logartima :
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Eksponen :
persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log (xy-2y) & = 1 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 10 \\ xy-2y & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
$ \begin{align} \frac{3^{3x}}{9} & = 3^{2y} \\ \frac{3^{3x}}{3^2} & = 3^{2y} \\ 3^{3x-2} & = 3^{2y} \\ 3x-2 & = 2y \\ y & = \frac{3x-2}{2} \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} xy-2y & = 10 \\ x \times \frac{3x-2}{2}-2 \times \frac{3x-2}{2} & = 10 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ (3x^2 - 2x) - 6x + 4 & = 20 \\ 3x^2 - 8x - 16 & = 0 \\ (3x + 4)(x-4) & = 0 \\ x = - \frac{4}{3} \vee x & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ x = 4 \, $ karena yang diminta positif.
Pers(ii) : $ y = \frac{3x-2}{2} = \frac{3.4-2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
*). Menentukan hasil $ x + y $
$ \begin{align} x + y = 4 + 5 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y = 9 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Penggunaan Turunan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva fungsi $ f(x) = x^4 + 2x^3 \, $ mencapai minimum di titik $ (\alpha , \beta ) \, $ maka $ \alpha - \beta = .... $
A). $ \frac{1}{16} \, $ B). $ \frac{3}{16} \, $ C). $ \frac{5}{16} \, $ D). $ \frac{7}{16} \, $ E). $ \frac{9}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada saat $ x_1 \, $ memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Cek $ x_1 \, $ ke Turunan kedua :
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 , \, $ maka jenisnya minimum,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 , \, $ maka jenisnya titik belok,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 , \, $ maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f(x) & = x^4 + 2x^3 \\ f^\prime (x) & = 4x^3 + 6x^2 \\ \text{syarat } f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 + 6x^2 & = 0 \\ 2x^2 (2x+3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -\frac{3}{2} \end{align} $
*). Cek turunan kedua :
$ f^\prime (x) = 4x^3 + 6x^2 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 + 12x $
$ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 + 12.0 = 0 $
artinya di $ x = 0 \, $ adalah titik belok.
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f^{\prime \prime } (-\frac{3}{2} ) = 12.(-\frac{3}{2} )^2 + 12.(-\frac{3}{2} ) = 3 $
artinya di $ x = -\frac{3}{2} \, $ adalah minimum.
*). Menentukan titik minimum :
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^4 + 2.(-\frac{3}{2})^3 = - \frac{27}{16} $
artinya titik minimumnya yaitu :
$ (\alpha , \beta) = (-\frac{3}{2}, - \frac{27}{16} ) $
*). Menentukan nilai $ \alpha - \beta $ :
$ \alpha - \beta = -\frac{3}{2} - ( - \frac{27}{16} ) = \frac{3}{16} $
Jadi, nilai $ \alpha - \beta = \frac{3}{16} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Garis Singgung Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung kurva $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \, $ di titik $(3,1) \, $ sejajar sumbu-X, maka $ p+q = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
*). Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Garis yang sejajar sumbu X memiliki gradien nol.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik (3,1) ke fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} (x,y) = (3,1) \rightarrow y & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \\ 1 & = \frac{p.3-q}{(3-1)(3-2)} \\ 1 & = \frac{3p-q}{2} \\ 3p - q & = 2 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} = \frac{px-q}{x^2 - 3x + 2} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{p(x^2 - 3x + 2) - (px-q)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} \\ & = \frac{p(x-1)(x-2) - (px-q)(2x - 3)}{[(x-1)(x-2)]^2} \end{align} $
*). Gradien garis singgung di (3,1) adalah nol
$ \begin{align} m & = 0 \\ f^\prime (3) & = 0 \\ \frac{p(3-1)(3-2) - (p.3-q)(2.3 - 3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ \frac{2p - (3p-q).(3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ 2p- 3(3p-q) & = 0 \, \, \, \, \text{dari (i)} \\ 2p- 3.(2) & = 0 \\ 2p & = 6 \\ p & = 3 \end{align} $
*). Dari Pers(i) :
$ 3p - q = 2 \rightarrow 3.3 - q = 2 \rightarrow q = 7 $
Sehingga nilai $ p + q = 3 + 7 = 10 $ .
Jadi, nilai $ p + q = 10 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{3}{ 2} \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ \infty $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Soal limit seperti pada pembahasan limit soal UM UGM matematika Dasar tahun 2016 kode 571 ini biasanya hasilnya berbentuk $ \frac{0}{0} \, $ dimana bentuk ini tidak diperbolehkan sehingga harus kita proses lagi pengerjaannya. Ada tiga cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan limit yaitu pemfaktoran, kali sekawan, dan menggunakan turunan (dalil L'Hopital). Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakan dua cara yaitu pemfaktoran dan turunan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pemfaktoran :
$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
Sehingga bentuk $ (x-8) \, $ bisa kita faktorkan menjadi :
$ x-8 = (\sqrt[3]{x})^3 - (2)^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^n \, \rightarrow y' = n\times a x^{n-1} $
Sehingga turunan dari :
$ y = \sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Konsep limit menggunakan turunan
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ maka $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f^\prime (x) }{g^\prime (x)} $ .
*). sifat eksponen : $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I : Pemfaktoran
*). Bentuk $ (x - 8 ) = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} ( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 ) \\ & = ( (\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2) (\sqrt[3]{8} - 1 ) \\ & = ( (2)^2 + 2.2 + 4) (2 - 1 ) \\ & = 12 \times 1 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Menggunakan Turunan
*). Turunan $ y = \sqrt[3]{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{1}{\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} 3x^{\frac{2}{3}} \\ & = (\sqrt[3]{8} - 1 ) \times 3\times 8^{\frac{2}{3}} \\ & = (2 - 1 ) \times 3\times 4 \\ & = 1\times 3\times 4 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan
untuk menghitung nilai $ 8^{\frac{2}{3}} \, $ kita gunakan sifat eksponen yaitu :
$ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{ 3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 $ .



Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = 2x - 6 \, $ dan $ g^{-1} (x) = \frac{x-5}{4} \, $ maka nilai $ (f \circ g)(2) = ..... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ -2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada soal Komposisi Fungsi dan Invers UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan fungsi $ g(x) \, $ dengan cara menginverskan bentuk $ g^{-1}(x) $ . Setelah itu baru kita menentukan hasil dari $ (f \circ g)(2) $ .

$\spadesuit $ Konsep Dasar Komposisi fungsi dan fungsi invers
*). Fungsi invers :
$ y = f(x) \leftrightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1}(x)]^{-1} = f(x) $
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f[g(x)] $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $g(x) $ dengan menginverskan bentuk $ g^{-1}(x) = \frac{x-5}{4} $ :
$ y = \frac{x-5}{4} \rightarrow 4y = x -5 \rightarrow x = 4y + 5 $.
Sehingga $ g(x) = 4x + 5 $.
*). Menentukan hasil dengan $ f(x) = 2x - 6 \, $ dan $ g(x) = 4x + 5 $ :
$ \begin{align} (f \circ g)(2) & = f[g(2)] \\ & = f[4 \times 2 + 5] \\ & = f(13) \\ & = 2 \times 13 - 6 \\ & = 20 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f \circ g)(2) = 20 . \, \heartsuit $



Pembahasan Statistika Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Nilai rata-rata Bahasa Inggris dalam suatu kelas yang terdiri dari 14 siswa adalah 6. Satu siswa memperoleh nilai tertinggi dan satu siswa lain memperoleh nilai terendah. Nilai rata-rata tanpa nilai tertinggi dan terendah juga sama dengan 6. Jika nilai terendahnya adalah $ b \, $ , maka selisih nilai tertinggi dan terendah adalah ....
A). $ 10 - b \, $ B). $ 12 - 2b \, $
C). $ 18-3b \, $ D). $ 20-4b \, $
E). $ 3b-4 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Statistika UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini menggunakan konsep rata-rata secara umum. Diketahui dua nilai rata-rata dengan mengikutkan dan tanpa mengikutkan nilai tertinggi dan terendahnya. Untuk memudahkan mengelesaikannya, kita selesaikan rata-rata masing sehingga terbentuk dua persamaan, lalu kita substitusi dan diperolehlah nilai yang kita inginkan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar rata-rata pada statistika
Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua data/nilai}}{\text{banyak data/nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai tertinggi seorang siswa adalah sebesar $ y $. Di soal juga sudah diketahui nilai terendah seorang siswa adalah sebesar $ b $. Sedangkan jumlah semua nilai selain tertinggi dan terendah kita misalkan sebesar N (total nilai untuk 12 orang dari 14 orang selain siswa dengan nilai tertinggi dan terendah).
*). Rata-rata 14 siswa adalah 6
$\begin{align} \text{Rata-rata 14 siswa } & = 6 \\ \frac{\text{jumlah semua data/nilai}}{\text{banyak data/nilai}} & = 6 \\ \frac{b + N + y}{14} & = 6 \\ b + N + y & = 6 \times 14 \\ b + N + y & = 84 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). Rata-rata 12 siswa (siswa nilai tertinggi dan terendah tidak diikutkan) adalah 6
$\begin{align} \text{Rata-rata 12 siswa } & = 6 \\ \frac{\text{jumlah semua data/nilai}}{\text{banyak data/nilai}} & = 6 \\ \frac{N}{12} & = 6 \\ N & = 6 \times 12 \\ N & = 72 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ N = 72 \,$ ke pers(i) :
$ b + N + y = 84 \rightarrow b + 72 + y = 84 \rightarrow y = 12 - b $
Artinya kita peroleh nilai tertinggi $(y)$ yaitu $ y = 12 - b $.
*). Menentukan nilai selisih tertinggi ($y$) dan terendah ($b$) :
$ y - b = (12-b) - b = 12 - 2b $.
Jadi, selisih nilai tertinggi dan terendahnya adalah $ 12 - 2b . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Salah satu trik termudah dalam menyelsaikan soal adalah dengan memisalkan dengan suatu bentuk aljabar tertentu seperti pembahasan soal statistika UM UGM matdas tahun 2016 kode 571 ini. Saya yakin, untuk rumus rata-rata, hampir setiap siswa mengetahuinya, hanya saja soal-soal seleksi PTN pasti membutuhkan kecermatan, ketelitian, dan analisa yang lebih.



Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Enam siswa putra dan lima siswa putri duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang bahwa di kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra adalah ....
A). $ \frac{1}{11} \, $ B). $ \frac{2}{11} \, $ C). $ \frac{3}{11} \, $ D). $ \frac{4}{11} \, $ E). $ \frac{6}{11} $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Peluang UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini membutuhkan pemahaman konsep peluang secara mendalam. Sebenarnya untuk penghitungan peluangnya tidaklah sulit, karena peluang itu hanyalah hasil pembagian saja antara $n(A)$ dan $n(S)$. Dalam menghitung banyaknya susunan duduk, URUTAN sangat diperhatikan. Sehingga pada pembahasan soal peluang ini akan melibatkan materi PERMUTASI.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
Peluang kejadian A disimbolkan P(A) dengan rumus : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
Keterangan :
$n(A) $ = banyak kejadian yang diharapkan.
$n(S)$ = ruang sampel atau semua kejadia yang mungkin.

*). Untuk kejadian yang memperhatikan URUTAN, banyak caranya menggunakan konsep PERMUTASI dengan rumus : $P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $ .

*). Nilai $ n! = n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1$
Contoh :
$ 3! = 3\times 2\times 1 = 6 $
$ 5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 120 $
$0! = 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mennetukan $n(S)$ :
Ada 6 Pria dan 5 Wanita duduk berdampingan, sehingga semua kemungkinana banyaknya cara duduk ada :
$ n(S) = P_{11}^{11} = \frac{11!}{(11-11)!} = \frac{11!}{0!} = \frac{11!}{1} = 11! $.

*). Menentukan nilai $n(A) $ dengan A adalah kejadian ujung-ujung diisi oleh pria :
i). Banyak cara mengisi ujung-ujung adalah kita memilih dua pria dari 6 pria yang ada untuk kita tempatkan di ujung-ujung dengan banyak cara :
$P_2^6 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30 $.
ii). 9 tempat duduk yang ditengah bebas diisi oleh 4 pria dan 5 wanita yang tersisa (9 orang) dengan banyak cara :
$ P_9^9 = \frac{9!}{(9-9)!} = \frac{9!}{0!} = 9! $.
iii). Sehingga total kemungkinan duduk agar ujung-ujung diisi oleh pria yaitu :
$ n(A) = 30 \times 9! $.

*). Menentukan peluang kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{30 \times 9!}{11!} = \frac{30 \times 9!}{11\times 10 \times 9!} = \frac{3}{11} $ .
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{11} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan (aturan penjumlahan dan perkalian), permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Trigonometri Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \cos A = \frac{3}{5} \, $ dan $ \pi < A < 2\pi , \, $ maka nilai $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } = ..... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{12} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{4}{5} \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Trigonometri UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 tidaklah terlalu sulit karena kita cukup mengingat rumus perbandingan dasar pada trogonometri dan kuadran. Langkah-langkah pengerjaannya yaitu kita buat nilai perbandingan $ \cos A = \frac{3}{5} \, $ pada segitiga dan letak sudut A di kuadran berapa, hal ini akan memudahkan kita untuk menentukan nilai trigonometri yang lainnya seperti sin A dan tan A. Setelah itu tinggal kita menghitung hasil yang diinginkan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
$ \text{Sin A} = \frac{depan}{miring}, \, \text{Cos A} = \frac{samping}{miring}, \, \text{Tan A} = \frac{depan}{samping}$
dan $ \text{Tan A} = \frac{\text{Sin A}}{\text{Cos A}} $
*). Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran :
Kuadran III sudutnya antara $ \pi \, $ sampai $ \, \frac{3}{2}\pi $
Kuadran IV sudutnya antara $ \frac{3}{2}\pi \, $ sampai $ \,2\pi $
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot) artinya yang lainnya negatif
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec) artinya yang lain negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui nilai $\cos A = \frac{3}{5} \, $ dan $ \pi < A < 2\pi , \, $ artinya sudut A terletak antara dikuadran III dan kuadran IV. Namun, nilai Cos A positif, sehingga sudut A terletak dikuadran IV yang artinya nilai Sin A negatif dan nilai Tan A juga negatif.
*). Membuat segitiga siku-siku dari $\cos A = \frac{3}{5} \, $
$\cos A = \frac{3}{5} = \frac{smping}{miring} \, $ artinya samping = 3 dan miring = 5, dengan phytagoras kita peroleh panjang depannya = 4.
 

gambar segitiga siku-sikunya.
Sehingga nilai sin A dan tan A yaitu :
Sin A = $ -\frac{de}{mi} = - \frac{4}{5} $
dan Tan A = $ -\frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} $
*). Menentukan hasil dari $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } $
$ \begin{align} \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } & = \tan A - \frac{1}{\sin A } \\ & = - \frac{4}{3} - \frac{1}{- \frac{4}{5}} \\ & = - \frac{4}{3} + \frac{5}{4} \\ & = - \frac{16}{12} + \frac{15}{12} \\ & = \frac{-16 + 15}{12} \\ & = \frac{-1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai dari $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } = - \frac{1}{12}. \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Dalam pengerjaan soal Trigonometri UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 ini, kita janganlah langsung berfikir bahwa soal ini akan sulit untuk kita kerjakan walaupun memang trigonometri itu rumus-rumusnya banyak sekali. Cobalah dengan sesuatu yang mendasar, siapa tau kita bisa mengerjakannya seperti soal ini. Untuk memudahkan mengerjakan soal-soal yang terkait dengan trigonometri, kuncinya adalah sering berlatih untuk berbagai tipe soal. !!!^_^!!!



Pembahasan Matriks Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 57 & -15 \\ 15 & -3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ A^{-1} \, $ menyatakan invers matriks $ A , \, $ maka $ (A^{-1})^3 + B = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 61 & 0 \\ 0 & -59 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 61 & -30 \\ 30 & -59 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Matriks UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 yang melibatkan materi invers matriks, pertama kita tentukan dulu invers dari matriks A yaitu A$^{-1}$. Setelah itu baru kita menyelesaikan bentuk $(A^{-1})^3 \, $ yang artinya A$^{-1}$ hasilnya dipangkatkan tiga. Langkah terakhir adalah menentukan hasil akhirnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Operasi pada matriks :
silahkan langsung ikuti link operasi pada matriks.
*). Determinan dan invers matriks
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
inversnya yaitu : $ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan A$^{-1}$
$ \begin{align} A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} & = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{0.(-4) - (-1).1}\left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{1}\left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan $(A^{-1})^3$, kerjakan perkalian $ A^{-1} . A^{-1} \, $ yang didepan dulu
$ \begin{align} (A^{-1})^3 & = A^{-1} . A^{-1} . A^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 15 & -4 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -56 & 15 \\ -15 & 4 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (A^{-1})^3 + B $
$ \begin{align} (A^{-1})^3 + B & = \left( \begin{matrix} -56 & 15 \\ -15 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 57 & -15 \\ 15 & -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ (A^{-1})^3 + B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk pengerjaan soal Matriks UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571, kita butuh ketelitian tingkat tinggi karena melibatkan banyak angka dan banyak perhitungan. Jangan sampai salah perhitungan di awal, ini pasti akan berpengaruh pada hasil akhir yang tentunya akan salah, dan akan membuat kita harus mengulanginya lagi dari awal, tentu teman-teman tidak mau kan mengulanginya lagi!!!



Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ . Bila suku ke-4 deret tersebut adalah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ....
A). $ 192 \, $ B). $ 96 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini, yang agak sulit kita cerna adalah kalimat pertama pada soal yaitu Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $. Apakah yang dimaksud $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $ atau $ \, \log (u_1+u_2+u_3+u_4+u_5) = 5\log 3 $. Manakah yang benar ? Untuk memudahkan membedakannya, langsung saja perhatikan bentuk berikut :
Jumlah logaritma artinya $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + .... $
Logaritma jumlah sukunya adalah $ \log (u_1 + u_2 + u_3 + ...) $
Sehingga yang dimaksud pada soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 adalah $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $.

         Langkah kedua adalah kita menyusun persamaan yang ada yaitu akan terbentuk dua persamaan yang kita peroleh dengan menggunakan konsep logaritma dan barisan geometri. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) dengan substitusi atau eliminasi kedua persamaan yang sudah terbentuk. Dan terakhir, menentukan nilai suku keenamnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan Logaritma
*). Suku ke-$n$ barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) \, $ dan $ \, n{}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
Persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{Jumlah logaritma lima suku pertama } & = 5 \log 3 \\ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1.u_2.u_3.u_4.u_5) & = \log 3^5 \\ \log (a.ar.ar^2.ar^3.ar^4) & = \log 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ a & = \frac{3}{r^2} \end{align} $
kita peroleh persaman (i) yaitu $ a = \frac{3}{r^2} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} u_4 = 12 \rightarrow ar^3 = 12 \, \, \, \, \, ......\text{pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar^3 & = 12 \\ \frac{3}{r^2} \times r^3 & = 12 \\ 3r & = 12 \\ r & = \frac{12}{3} = 4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ a = \frac{3}{r^2} = \frac{3}{4^2} $
*). Menentukan nilai suku ke-6 :
$ \begin{align} u_6 = ar^5 = \frac{3}{4^2} \times 4^5 = 3 \times 4^3 = 192 \end{align} $
Jadi, nilai suku keenam adalah 192. $ \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini akan membuat kita kesulitan dalam mengerjakannya karena soal ini langsung menggunakan tiga konsep yaitu barisan geometri, logaritma, dan perpangkatan (eksponen).



Pembahasan Deret Aritmetika Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Bila pembayaran pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00 , Rp270.000,00 , Rp290.000,00, Rp310.000,00 , ...., dan seterusnya, maka pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke- ....
A). $ 17 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 21 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal deret aritmetika UM UGM tahun 2016 kode 571 ini butuh kecermatan karena soalnya masih dalam bentuk soal cerita. Pertama kita harus memahami bahwa soal ini membentuk barisan dan deret aritmetika karena jumlah pembayarannya memiliki selisih yang sama untuk dua bulan yang berdekatan yang biasa kita sebut sebagai bedanya (b). Kedua, kita harus memahami bahwa yang diketahui pada soal adalah jumlah keseluruhan menjadi Rp8.800.000 setelah beberapa bulan pertama pembayaran, ini artinya yang diketahui adalah $ S_n \, $ nya. Dan yang ketiga, kita akan menentukan besarnya $ n \,$ yaitu lamanya melakukan pembayaran sekaligus sebagai bulan terakhir pembayaran.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
250.000, 270.000, 290.000, .....
Kita peroleh :
suku pertama : $ a = 250.000 $ dan
beda : $ b = u_2 - u_1 = 270.000 - 250.000 = 20.000 $
*). Menentukan $ n $ dengan diketahui jumlah seluruh angsuran = 8.800.000
$ \begin{align} S_n & = 8.800.000 \\ \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) & = 8.800.000 \\ \frac{n}{2}(2 \times 250.000 + (n-1)\times 20.000) & = 8.800.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 10.000)} \\ \frac{n}{2}(2 \times 25 + (n-1)\times 2) & = 880 \\ \frac{n}{2}(50 + 2n - 2) & = 880 \\ n \frac{(50 + 2n - 2)}{2} & = 880 \\ n (25 + n - 1) & = 880 \\ n (n+24) & = 880 \\ n^2 + 24n - 880 & = 0 \\ (n+44)(n-20) & = 0 \\ n = -44 \vee n & = 20 \end{align} $
Karena banyaknya bulan pengansuran positif, maka yang memenuhi adalah $ n = 20 $, artinya pinjaman lunas pada pembayaran ke-20.
Jadi, pinjaman lunas pada pembayaran bulan ke-20. $ \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal Deret Aritmetika UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini sebenarnya menarik karena tidak murni langsung dalam bentuk deret, melainkan dalam bentuk soal cerita, yang sebagaian orang mungkin akan kesulitan dalam memecahkan soal-soal dalam bentuk cerita. Tapi yakinlah teman-teman, dengan banyak latihan mengerjakan soal-soal cerita maka kita pasti akan terbiasa nantinya.



Pembahasan Program Linear Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Agar nilai maksimum $ ax + \frac{4}{5}ay , \, $ dengan $ a > 0 \, $ yang memenuhi $ x + y \leq 200, \, $ $ 75 \leq x \leq 125 \, $ dan $ y \geq 50 , \, $ adalah 555, maka $ a = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal program linear UM UGM tahun 2016 kode 571 ini tidaklah sulit teman-teman. Langkah-langkahnya yaitu pertama kita gambar dulu daerah himpunan penyelesaiannya (DHP), kemudian kita cari semua titik pojok yang memenuhi dan kita substitusikan ke fungsi tujuannya $(z = ax + \frac{4}{5}ay ) \, $ dimana nilainya harus 555, selanjutnya kita peroleh nilai $ a \, $ dari masing-masing titik pojok. Dari pilihan jawaban yang ada, kita pilih nilai $ a \, $ yang bulat. Silahkan juga baca materi program linear metode uji titik pojok agar lebih mudah dalam memahami pembahasan ini.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Kita menggunakan konsep program linear dengan metode uji titik pojok.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
Fungsi tujuannya : $ ax + \frac{4}{5}ay = 555 $
Kendala/batasannya :
i). $ x + y \leq 200 \rightarrow (0,200) \, , \, (200,0) $
ii). $ 75 \leq x \leq 125 \, $ bisa dipecah menjadi $ x = 75 \, $ dan $ x = 125 $
iii). $ y \geq 50 $

*). substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = ax + \frac{4}{5}ay = 555 $
$ \begin{align} A(75,50) \rightarrow a . 75 + \frac{4}{5}a.50 & = 555 \\ 75a + 40a & = 555 \\ 115a & = 555 \\ a & = \frac{555}{115} = 4\frac{95}{115} \\ B(125,50) \rightarrow a . 125 + \frac{4}{5}a.50 & = 555 \\ 125a + 40a & = 555 \\ 165a & = 555 \\ a & = \frac{555}{165} = 3\frac{60}{165} \\ C(125,75) \rightarrow a . 125 + \frac{4}{5}a.75 & = 555 \\ 125a + 60a & = 555 \\ 185a & = 555 \\ a & = \frac{555}{185} = 3 \\ D(75,125) \rightarrow a . 75 + \frac{4}{5}a.125 & = 555 \\ 75a + 100a & = 555 \\ 175a & = 555 \\ a & = \frac{555}{175} = 3\frac{30}{175} \end{align} $
Karena yang diminta nilai $ a \, $ bilangan bulat, sehingga nilai $ a = 3 $.
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal program linear ini menggunakan ide kebalikan dari biasanya yaitu ada fungsi tujuan dan nilai optimumnya sudah ada sebesar 555, dan kita diminta menentukan nilai $ a \, $. Namun cara pengerjaannya hampir sama yaitu menggunakan metode uji titik pojok dimana kita substitusikan semua titik pojok yang ada pada DHP ke fungsi tujuannya yang sama dengan 555. Dan analisa yang perlu kita tambahkan yaitu nilai $ a \, $ yang dipilih adalah yang bulat karena mengacu pada opsionnya.



Pembahasan pertidaksamaan mutlak dan pecahan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \{x \in R | a \leq x \leq b \} \, $ adalah himpunan semua bilangan real yang bukan penyelesaian
                  $ \frac{1}{x+1} < 1 + \sqrt{x^2} $
maka nilai $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pembahasan soal pertidaksamaan mutlak dan pecahan UM UGM tahun 2016 kode 571 ini tergolong agak sulit karena yang akan nampak bukan bentuk mutlak tapi seolah-olah bentuk akar. Bentuk $ \sqrt{x^2} \, $ tidak boleh kita ubah menjadi $ x \, $ karena bentuk tersebut adalah bentuk lain dari nilai mutlak yaitu $ \sqrt{x^2} = |x| $. Langkah-langkah dalam pengerjaannya yaitu pertama kita pecah dulu nilai mutlaknya (hilangkan nilai mutlaknya) menggunakan definisi harga mutlak, kemudian kita selesaikan pertidaksamaannya dalam bentuk pecahan. Silahkan baca materi pertidaksamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan pecahan agar lebih mudah dalam memahami pembahasannya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Definisi Nilai Mutlak :
$ |x| = \sqrt{x^2} = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Artinya dari definisi ini, soal kita bagi menjadi dua kasus yaitu untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x \, $ dan untuk $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x \, $
Adapaun soalnya bisa ditulis ulang :
$ \frac{1}{x+1} < 1 + \sqrt{x^2} \, $ menjadi $ \frac{1}{x+1} < 1 + |x| $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kasus pertama, untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{1}{x+1} & < 1 + |x| \\ \frac{1}{x+1} & < 1 + x \\ \frac{1}{x+1} - (x + 1) & < 0 \\ \frac{1}{x+1} - \frac{(x + 1)^2}{x+1} & < 0 \\ \frac{1 - (x + 1)^2}{x+1} & < 0 \\ \frac{-x^2 - 2x}{x+1} & < 0 \\ \frac{-x(x+2)}{x+1} & < 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ -x(x+2) = 0 \rightarrow x & = 0 \vee x = -2 \\ x+1 = 0 \rightarrow x & = -1 \end{align} $

solusinya : $ \{-2 < x < -1 \vee x > 0 \} $ .
Namun dari kasus pertama ini hanya untuk $ x \geq 0 \, $ sehingga himpunan penyelesaian pada kasus pertama adalah irisannya : $ \{-2 < x < -1 \vee x > 0 \} \cap \{ x \geq 0 \} = \{ x > 0 \} $ .
Kita peroleh $ HP1 = \{ x > 0 \} $ .
*). Kasus kedua, untuk $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{1}{x+1} & < 1 + |x| \\ \frac{1}{x+1} & < 1 - x \\ \frac{1}{x+1} + x - 1 & < 0 \\ \frac{1}{x+1} + \frac{( x - 1)(x+1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{1 + (x + 1)(x-1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{ x^2 }{x+1} & < 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ x^2 = 0 \rightarrow x & = 0 \\ x+1 = 0 \rightarrow x & = -1 \end{align} $

 
solusinya : $ \{ x < -1 \} $ .
Namun dari kasus pertama ini hanya untuk $ x < 0 \, $ sehingga himpunan penyelesaian pada kasus kedua adalah irisannya : $ \{ x < -1 \} \cap \{ x < 0 \} = \{ x < -1 \} $ .
Kita peroleh $ HP2 = \{ x < -1 \} $ .
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
HP = $ \{ x > 0 \} \cup \{ x < -1 \} = \{ x < -1 \vee x > 0 \} $ .
Sehingga yang bukan menjadi penyelesaiannya adalah $ \{ -1 \leq x \leq 0 \} \, $ yang sama dengan bentuk $ \{ a \leq x \leq b \} \, $ , maka kita peroleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 0 $.
*). Menentukan haasil $ a + b $
$ a + b = -1 + 0 = -1 $.
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         untuk pengerjaan tipe soal yang melibatkan lebih dari satu materi memang agak sulit dan butuh ketelitian tentunya. Dari definisi nilai mutlak, hasil akhirnya digabungkan dari kedua kasus yang ada.



Pembahasan Sistem Persamaan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Harga karcis bis untuk anak Rp2.000,00 dan untuk dewasa Rp3.000,00. Terjual 180 karcis dalam suatu hari dengan hasil penjualan Rp420.000,00. Seandainya pada hari tersebut harga karcis untuk anak Rp2.500,00 dan untuk dewasa Rp4.000,00, maka hasil penjualannya adalah ....
A). Rp535.000,00 B). 537.000,00
C). 540.000,00 D). 550.000,00
E). 560.000,00

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Soal Sistem persamaan UM UGM tahun 2016 kode 571 ini tergolong unik karena yang diubah malah harga dari masing-masing produk (variabelnya). Proses pengerjaannya yaitu pertama kita susun sistem persamaannya, kedua kita selesaikan sistem persamaannya, dan ketiga kita hitung berdasarkan pertanyaan yang diinginkan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Dalam menyelesaikan sistem persamaan, kita menggunakan teknik gabungan yaitu eliminasi dan substitusi. Kalau teman-teman lupa, silahkan baca materinya pada artikel "sistem persamaan linear".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan banyak karcis anak-anak adalah $ x \, $ dan banyak karcis dewasa adalah $ y $.
*). Menyusun sistem persamaan :
Persamaan pertama, jumlah total karcis 180.
$ x + y = 180 \, $ .....pers(i)
Persamaan kedua, hasil penjualan = 420.000
$ 2000x + 3000y = 420000 \rightarrow 2x + 3y = 420 \, $ ....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 420 & \times 1 & 2x + 3y = 420 & \\ x + y = 180 & \times 2 & 2x + 2y = 360 & - \\ \hline & & y = 60 & \end{array} $
Pers(i) : $ x + y = 180 \rightarrow x + 60 = 180 \rightarrow x = 120 $
*). Harga karcis diubah, anak-anak = 2500 dan dewasa = 4000
$ \begin{align} \text{penjualan } & = 2500x + 4000y \\ & = 2500 \times 120 + 4000 \times 60 \\ & = 300.000 + 240.000 \\ & = 540.000 \end{align} $
Jadi, hasil penjualannya Rp540.000,00 $ . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Kunci utama dalam menyelesaikan soal sistem persamaan yaitu kita harus mampu menyusun sistem persamaannya dengan benar terlebih dahulu, setelah itu baru menyelesaikannya dengan cara eliminasi dan subtitusi, tentu sangat dibutuhkan ketelitian secara seksama.



Pembahasan Fungsi Kuadrat Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Dalam pengerjaan soal fungsi kuadrat UM UGM tahun 2015 kode 571 ini, kita akan menggunakan konsep yang ada pada fungsi kuadrat yaitu titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat itu sendiri. Pertama yang kita lakukan adalah melengkapi titik puncaknya $(x_p,y_p) \, $ , kemudian kita susun fungsi kuadratnya dengan rumus $ y = a(x-x_p)^2 + y_p \, $ . Tentu untuk memudahkan, teman-teman harus menguasai dulu materi titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $
$ y = a(x-x_p)^2 + y_p $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun fungsi kuadrat dengan $ (x_p,y_p) = (3,2) \, $ dan $ f(2) = 0 $
$ \begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi } f(2) = 0 ] \\ 0 & = a(2-3)^2 + 2 \\ 0 & = a + 2 \\ -2 & = a \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \\ y & = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -18 + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -16 \end{align} $
dari bentuk $ f(x) = -2 x^2 +12x -16 \, $ sama dengan bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ sehingga kita peroleh nilai $ a = -2, \, b = 12, \, $ dan $ c = -16 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Pembahasan di atas adalah salah satu alternatif penyelesaian yang bisa teman-teman pelajari untuk menyelesaikan soal ini. Ide yang perlu kita cermati adalah rumus mencari nilai $ x_p \, $ nya yaitu $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} \, $ yang kalau kita jabarkan akan kembali menjadi rumus awal yaitu $ x_p = -\frac{b}{2a} $ . Ingat rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ .



Pembahasan Persamaan Kuadrat Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Akar persamaan kuadrat $ (a+1) x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ mempunyai dua akar berbeda dan keduanya lebih besar daripada 1, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < - 1 \, $ atau $ \, a > 2 \, $ B). $ a < -1 \, $ atau $ \, a > -\frac{1}{2} \, $
C). $ -\frac{16}{7} < a < 0 \, $ D). $ -\frac{16}{7} < a < -1 \, $
E). $ a < -\frac{16}{7} \, $ atau $ \, a > 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Secara umum Logika berpikir dalam pengerjaan soal Persamaan Kuadrat UM UGM tahun 2016 kode 571 ini yaitu kita menggunakan konsep operasi akar-akar dan syarat akar-akar berbeda pada persamaan kuadrat yang keduanya melibatkan konsep pertidaksamaan. Langkah-langkah yang kita lakukan yaitu : (i). nol kan ruas kanan dari $ x_1 > 1 \, $ dan $ x_2 > 1 \, $ menjadi $ x_1 - 1 > 0 \, $ dan $ x_2 - 1 > 0 $. (ii). Dari bentuk (i) kita lakukan operasi akar-akar yaitu untuk penjumlahan dan perkalian, dari ini akan kita peroleh syarat dari nilai $ a \, $ . (iii). Selanjutnya kita terapkan syarat akar-akar berbeda yaitu $ D > 0 \, $ dengan rumus $ D = b^2 - 4ac \, $ sehingga kita peroleh syarat nilai $ a \, $ lagi. (iv). Terakhir, kita iriskan semua syarat nilai $ a \, $ yang kita peroleh, itulah hasil akhir yang akan kita peroleh. Untuk memudahkan mempelajari pembahasannya, sebaiknya teman-teman pelajari juga materi pertidaksamaan pecahan dan pertidaksamaan kuadrat.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ maka :
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $
Syarat akar-akar berbeda : $ D > 0 \, $ dengan $ D = b^2- 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ (a+1)x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ serta memenuhi $ x_1 > 1 \, , x_2 > 1 $ .
Kita peroleh :
$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3a}{a+1} \, $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4a}{a+1} $ .
*). Mengubah bentuk $ x_1 > 1 \, $ dan $ x_2 > 1 \, $ agar mudah dioperasikan :
$ x_1 > 1 \rightarrow x_1 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_1 - 1) \, $ bernilai positif.
$ x_2 > 1 \rightarrow x_2 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_2 - 1) \, $ bernilai positif.
*). Operasi akar-akar :
Operasi penjumlahan :
$ \begin{align} (x_1 - 1) + (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif + positif = positif)} \\ (x_1 + x_2) - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - \frac{2(a+1)}{a+1} & > 0 \\ \frac{a-2}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (a - 2 ) = 0 \rightarrow a = 2 $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .


sehingga solusinya : HP1 = $ \{ a < -1 \vee a > 2 \} $ .
Operasi perkalian :
$ \begin{align} (x_1 - 1) . (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif x positif = positif)} \\ x_1.x_2 - ( x_1 + x_2) + 1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} +1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} + \frac{a + 1}{a+1} & > 0 \\ \frac{2a + 1}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (2a+1 ) = 0 \rightarrow a = -\frac{1}{2} $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .

sehingga solusinya : HP2 = $ \{ a < -1 \vee a > -\frac{1}{2} \} $ .
*). Syarat dua akar berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-3a)^2 - 4.(a+1).(4a) & > 0 \\ 9a^2 - 16a^2 - 16a & > 0 \\ -7a^2 - 16a & > 0 \\ -a(7a + 16a) &= 0 \\ a = 0 \vee a & = -\frac{16}{7} \end{align} $

sehingga solusinya : HP3 = $ \{ -\frac{16}{7} < a < 0 \} $ .
*). Himpunan penyelesaiannya
$ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Operasi yang dipilih adalah operasi yang memberikan hasil pasti seperti penjumlahan dan perkalian. Misalkan operasi pengurangan, jika dua bilangan positif dikurangkan maka hasilnya belum pasti, bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga operasi pengurangan tidak dilibatkan pada soal ini. Jika ada kekurangan atau masukan atau kritikan atau apaupun terhadap pembahasan yang ada pada blog ini, mohon untuk sharing ya dengan mengisi komentar di bawahnya atau ke email kami. Terima kasih.



Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y , $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
A). $\frac{1}{9} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 18 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal logaritma UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini, langkah-langkah pengerjaannya yaitu pertama kita sederhanakan persamaan yang ada dengan sifat-sifat dan persamaan logaritma, selanjutnya persamaan yang terbentuk kita bagi dengan $ y^2 \, $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat dalam bentuk $ \frac{x}{y} \, $ , setelah itu baru kita faktorkan sehingga kita peroleh nilai $ \frac{x}{y} \, $. Untuk memudahkan dalam pemfaktoran, sebaiknya bentuk $ \frac{x}{y} \, $ kita misalkan dengan variabel $ p $ . Ini adalah pengerjaan dengan cara I. Namun bisa juga kita faktorkan langsung dari persamaan dalam $ x \, $ dan $ y \, $ seperti pada cara II.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Sifat-sifat logaritma :
i). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
ii). $ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n $
Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) $
dengan syarat $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara I
Misalkan $ p = \frac{x}{y} \, $
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } y^2) \\ \frac{x^2 + 9y^2 - 10xy}{y^2} & = \frac{0}{y^2} \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{ 9y^2 }{y^2} - \frac{10xy}{y^2} & = 0 \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 9 - 10.\frac{ x }{y } & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } \frac{x}{y} = p ) \\ \left( p\right)^2 + 9 - 10.p & = 0 \\ p^2 - 10p + 9 & = 0 \\ (p - 1)(p+9) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 9 \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ p = 1 \rightarrow \frac{x}{y} = 1 \rightarrow x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ p = 9 \, $ atau $ \frac{x}{y} = 9 $.
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara II
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \\ (x - y)(x - 9y) & = 0 \\ x = y \vee x & = 9y \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ x = 9y $. Sehingga nilai $ \frac{x}{y} = \frac{9y}{y} = 9 $ .
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal Logaritma UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini tidak langsung kita kerjakan dengan memperoleh nilai $ x \, $ dan $ y \, $ masing-masing. Dengan memodifikasi menjadi bentuk $ \frac{x}{y} \, $ akan memudahkan kita dalam pengerjaan soalnya seperti pada cara I. Namun bisa juga menggunakan alternatif cara II yaitu kita mencari nilai $ x \, $ dalam $ y $ . Kedua cara di atas tergantung dari cara berpikir kreatif kita masing-masing.
*). Hai teman-teman, jangan lupa komen ya semisal ada perbaikan atau masukan lainnya tentang pembahasan di blog dunia-informa ini. !!!^_^!!! Terima Kasih.