Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ . Bila suku ke-4 deret tersebut adalah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ....
A). $ 192 \, $ B). $ 96 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini, yang agak sulit kita cerna adalah kalimat pertama pada soal yaitu Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $. Apakah yang dimaksud $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $ atau $ \, \log (u_1+u_2+u_3+u_4+u_5) = 5\log 3 $. Manakah yang benar ? Untuk memudahkan membedakannya, langsung saja perhatikan bentuk berikut :
Jumlah logaritma artinya $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + .... $
Logaritma jumlah sukunya adalah $ \log (u_1 + u_2 + u_3 + ...) $
Sehingga yang dimaksud pada soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 adalah $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $.

         Langkah kedua adalah kita menyusun persamaan yang ada yaitu akan terbentuk dua persamaan yang kita peroleh dengan menggunakan konsep logaritma dan barisan geometri. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) dengan substitusi atau eliminasi kedua persamaan yang sudah terbentuk. Dan terakhir, menentukan nilai suku keenamnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan Logaritma
*). Suku ke-$n$ barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) \, $ dan $ \, n{}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
Persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{Jumlah logaritma lima suku pertama } & = 5 \log 3 \\ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1.u_2.u_3.u_4.u_5) & = \log 3^5 \\ \log (a.ar.ar^2.ar^3.ar^4) & = \log 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ a & = \frac{3}{r^2} \end{align} $
kita peroleh persaman (i) yaitu $ a = \frac{3}{r^2} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} u_4 = 12 \rightarrow ar^3 = 12 \, \, \, \, \, ......\text{pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar^3 & = 12 \\ \frac{3}{r^2} \times r^3 & = 12 \\ 3r & = 12 \\ r & = \frac{12}{3} = 4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ a = \frac{3}{r^2} = \frac{3}{4^2} $
*). Menentukan nilai suku ke-6 :
$ \begin{align} u_6 = ar^5 = \frac{3}{4^2} \times 4^5 = 3 \times 4^3 = 192 \end{align} $
Jadi, nilai suku keenam adalah 192. $ \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini akan membuat kita kesulitan dalam mengerjakannya karena soal ini langsung menggunakan tiga konsep yaitu barisan geometri, logaritma, dan perpangkatan (eksponen).



Tidak ada komentar:

Posting Komentar