Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} \, $ dapat dinyatakan sebagai
$ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} , \, $
maka $ a + b + c = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 $
C). $ 2 \, $ D). $ 3 $
E). $ 4 $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 $
C). $ 2 \, $ D). $ 3 $
E). $ 4 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Untuk merasionalkan bentuk akar, kita kalikan dengan sekawannya.
*). Perkalian bentuk sekawan menggunakan konsep :
$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $ memiliki bentuk sekawan $ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} $. Sehingga hasil perkaliannya :
$ \begin{align} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} ) & = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 \\ & = (2 +3 + 2\sqrt{6}) - (5) \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Untuk merasionalkan bentuk akar, kita kalikan dengan sekawannya.
*). Perkalian bentuk sekawan menggunakan konsep :
$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $ memiliki bentuk sekawan $ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} $. Sehingga hasil perkaliannya :
$ \begin{align} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} ) & = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 \\ & = (2 +3 + 2\sqrt{6}) - (5) \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30} }{2 \times 6} \\ & = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30} }{12} \\ & = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} \end{align} $
Bentuk akhir harus sama dengan $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} $.
Sehingga :
$ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} $
Kita peroleh nilai $ a = 3, \, b = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c $
$ a + b + c = 3 + 2 + (-1) = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 4 . \, \heartsuit $
*). Merasionalkan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30} }{2 \times 6} \\ & = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30} }{12} \\ & = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} \end{align} $
Bentuk akhir harus sama dengan $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} $.
Sehingga :
$ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} $
Kita peroleh nilai $ a = 3, \, b = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c $
$ a + b + c = 3 + 2 + (-1) = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 4 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.