Kode 245 Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum Fungsi Kuadrat
*). Fungsi $ y = f(x) $ maksimum/minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Nilai minimum/maksimum fungsi tersebut adalah $ y = f(x_1) $ dengan $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Mencari nilai maksimum/minimum dengan menggunakan turunan ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 \\ f^\prime (x) & = 2(a^2+1)x - 2a \\ f^\prime (x) & = 0 \\ 2(a^2+1)x - 2a & = 0 \\ 2(a^2+1)x & = 2a \\ (a^2+1)x & = a \\ x & = \frac{a}{a^2 + 1} \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ minimum saat $ x = \frac{a}{a^2 + 1} $ dengan nilai minimumnya $ \frac{451}{50} $ yang dapat ditulis $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ dan $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
$\begin{align} f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) & = \frac{451}{50} \\ (a^2+1).\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right)^2 - 2a.\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) + 10 & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2}{a^2 + 1} - \frac{2a^2}{a^2 + 1} + 10 . \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2 - 2a^2 + 10a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{9a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ 451(a^2 + 1) & = 50(9a^2 + 10) \\ 451 a^2 + 451 & = 450a^2 + 500 \\ a^2 & = 49 \\ a & = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ positif yang memenuhi adalah $ a = 7 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar