Kode 245 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos px = 2\cos ^2 \frac{1}{2} (px) \, - \, 1 $
atau bisa diubah menjadi
$ \cos ^2 \frac{1}{2} (px) = \frac{1}{2}(\cos px + 1) $
sehingga bentuk dari :
$ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $
$\begin{align} \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4. \frac{1}{2}(\cos x + 1) & = 0 \\ \cos ^2 x (\cos x + 1) - 2(\cos x + 1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(dsitributif)} \\ (\cos x + 1)(\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ (\cos x + 1) = 0 \vee (\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ \cos x = -1 \vee \cos ^2 x & = 2 \end{align} $
*). Karena nilai $ \cos x \, $ paling besar (maksimum) adalah 1, maka nilai $ \cos ^2 x = 2 \, $ tidak memenuhi, sehingga yang memenuhi adalah $ \cos x = -1 $.
*). Dari $ \cos x = -1 $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi adalah
$ \{ \pi , 3\pi , 5\pi \} $.
artinya ada tiga nilai $ x $ yang memenuhi persamaan dengan $ 0 \leq x \leq 5\pi $.
Jadi, ada 3 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar