Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $ B). $ x < 0 \, $ C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
A). $ x < 1 \, $ B). $ x < 0 \, $ C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{array} \right. $
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
$\begin{align} x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ x - 1 - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1)}{|x|} - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \end{align} $
*). Nilait mutlak berdasarkan definisinya :
-). Untuk $ x \geq 0 $ , maka $ |x| = x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{x(x - 1) - 2}{x} & < 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{x} & < 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & < 0 \end{align} $
Akar-akarnya : $ x = -1, \, x = 2, \, $ dan $ x = 0 $
gambar garis bilangannya
Karena $ x \geq 0 $ , maka solusinya HP1 = $ \{ 0 < x < 2 \} $
-). Untuk $ x < 0 $ , maka $ |x| = -x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{(-x)(x - 1) - 2}{(-x)} & < 0 \\ \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \end{align} $
Bentuk $ x^2 - x + 2 \, $ adalah definit positif karena nilai $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ , sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaan menjadi :
$\begin{align} \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \\ \frac{1}{x} & < 0 \end{align} $
HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cup $ HP2 = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} . \, \heartsuit $
*). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
$\begin{align} x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ x - 1 - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1)}{|x|} - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \end{align} $
*). Nilait mutlak berdasarkan definisinya :
-). Untuk $ x \geq 0 $ , maka $ |x| = x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{x(x - 1) - 2}{x} & < 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{x} & < 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & < 0 \end{align} $
Akar-akarnya : $ x = -1, \, x = 2, \, $ dan $ x = 0 $
gambar garis bilangannya
-). Untuk $ x < 0 $ , maka $ |x| = -x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{(-x)(x - 1) - 2}{(-x)} & < 0 \\ \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \end{align} $
Bentuk $ x^2 - x + 2 \, $ adalah definit positif karena nilai $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ , sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaan menjadi :
$\begin{align} \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \\ \frac{1}{x} & < 0 \end{align} $
HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cup $ HP2 = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.