Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri kedua Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 adalah 100 dan jumlah suku-2 dan ke-4 adalah 75, maka suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 64 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
              $ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = 100
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = 100 \\ a + ar^2 & = 100 \\ a(1 + r^2) & = 100 \\ a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : jumlah suku-2 dan ke-4 = 75
$ \begin{align} u_2 + u_4 & = 75 \\ ar + ar^3 & = 75 \\ ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{100 }{(1 + r^2)} \times r(1 + r^2) & = 75 \\ 100r & = 75 \\ r & = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($ a $) dari pers(i)
$ \begin{align} a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \\ & = \frac{100 }{(1 + (\frac{3}{4} )^2)} \\ & = \frac{100 }{1 + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{16}{16} + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{25}{16} } \\ & = 100 \times \frac{16}{25} \\ & = 64 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya adalah 64 $. \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar