Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri adalah $-5$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut adalah ....
A). $ -18 \, $ atau $ -12 $
B). $ -9 \, $ atau $ -4 $
C). 18 atau 12
D). 9 atau 4
E). 18 atau 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
              $ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = -5
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = -5 \\ a + ar^2 & = -5 \\ a(1 + r^2) & = -5 \\ a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : suku ke-2 dikurangi suku ke-3 = 6
$ \begin{align} u_2 - u_3 & = 6 \\ ar - ar^2 & = 6 \\ a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{-5 }{(1 + r^2)} \times (r - r^2) & = 6 \\ -5(r - r^2) & = 6 (1 + r^2) \\ -5r + 5 r^2 & = 6 + 6r^2 \\ r^2 + 5r + 6 & = 0 \\ (r+2)(r+3) & = 0 \\ r = -2 \vee r & = -3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan hasil $ u_3 + u_4 $ :
Untuk $ r = -2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-2)^2)} = \frac{-5 }{5} = -1 \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -1 \times (-2)^2 + -1 \times (-2)^3 \\ & = -4 + 8 \\ & = 4 \end{align} $
Untuk $ r = -3 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-3)^2)} = \frac{-5 }{10} = -\frac{1}{2} \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -\frac{1}{2} \times (-3)^2 + -\frac{1}{2} \times (-3)^3 \\ & = -\frac{9}{2} + \frac{27}{2} \\ & = \frac{18}{2} \\ & = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_3 + u_4 \, $ adalah 4 atau 9 $. \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar