Kode 371 Pembahasan Pertidaksamaan Pecahan Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} > 0 $ adalah .....
A). $ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \, $
B). $ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 2 \, $
C). $ -2 \leq x < -1 \vee 0 < x \leq 2 \, $
D). $ x < 0 \vee x > 1 \, $
E). $ 0 < x < 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Pecahan dan Bentuk Akar
*). Syarat bentuk akar :
Jika $ y = \sqrt{f(x)} \, $ , maka $ f(x) \geq 0 $.
*). Syarat Pecahan :
Jika $ \frac{f(x)}{g(x)} \, $ , maka $ g(x) \neq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan solusi syarat :
Diketahui : $ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} > 0 $
Syarat dalam akarnya (bentuk $ \sqrt{4 - x^2}$) :
$ \begin{align} 4 - x^2 & \geq 0 \\ (2 + x)(2 - x) & \geq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $


Sehingga solusi syaratnya :
$ HP_1 = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $.
*). Menyelesaikan Pertidaksamaan :
Bnetuk $ 1 + \sqrt{4 - x^2} \, $ nilainya akan selalu positif untuk $ x $ yang memenuhi HP1, sehingga tidak berpengaruh pada pertidaksamaan pecahannya. Tinggal kita selesaikan bentuk penyebutnya saja.
$ \begin{align} \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x(x-1)} & > 0 \end{align} $
Akar-akar penyebutnya adalah $ x = 0 \, $ dan $ x = 1 $.
 

HP2 $ = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $.
*). Menentukan solusi akhir :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah $ \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \, \heartsuit $


$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -2^2}}{2^2-2} & > 0 \\ \frac{1+0}{2} & > 0 \\ \frac{1}{2} & > 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=2$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -3^2}}{3^2-2} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{-5}}{7} & > 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
dalam akar harus positif.
yang ada $x=3$ SALAH, opsi yang salah adalah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -1^2}}{1^2-2} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{3}}{0} & > 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
Penyebut pecahan tidak boleh bernilai 0.
yang ada $x=1$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \heartsuit$



Tidak ada komentar:

Posting Komentar