Kode 371 Pembahasan Trigonometri Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \cos ^2 x = \sqrt{3} \sin x $ , maka $ \sin x = .... $
A). $ \frac{1 - 2\sqrt{3}}{2} \, $ B). $ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \, $
C). $ \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \, $
E). $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
sehinnga : $ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Rumus ABC pada persamaan kuadrat :
persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ dengan :
$ \begin{align} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan kuadrat dengan memisalkan $ p = \sin x $
$ \begin{align} \cos ^2 x = \sqrt{3} \sin x \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 x = \sqrt{3} \sin x \\ \sin ^2 x - \sqrt{3} \sin x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(permisalan)} \\ p^2 - \sqrt{3} p - 1 & = 0 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ ( $\sin x $) dengan rumus ABC
$ \begin{align} p^2 - \sqrt{3} p - 1 & = 0 \\ a = 1, \, b = \sqrt{3} , \, c & = -1 \\ p_{1,2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 4}}{2} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{7}}{2} \\ p = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \vee p & = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x \, $ sama dengan nilai $ p $ yaitu :
$ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \vee \sin x = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} $.
*). Karena rentang nilai $ \sin x \, $ adalah $ -1 \leq \sin x \leq 1 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} $ . Sedangankan nilai $ \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} < -1 \, $ tidak ada pada rentang $ -1 \leq \sin x \leq 1 \, $ sehingga tidak memenuhi.
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}. \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar