Kode 371 Pembahasan Peluang Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka 0, 1, 3, 5, 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ....
A). $ 48 \, $ B). $ 72 \, $ C). $ 96 \, $ D). $ 108 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Permutasi
Banyak cara memilih $ r $ unsur berbeda dari $ n $ unsur yang ada (juga berbeda) adalah : $ P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!} $
dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $.
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Untuk kasus penyusunan angka, penghitungannya menggunakan permutasi karena urutan diperhatikan.
*). Konsep himpunan :
Misalkan ada kejadian A dan kejadian B, serta irisan keduanya $(A\cap B)$, maka banyak kejadian A atau B adalah :
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $.
dengan $ n(A) = \, $ menyatakan banyak anggota kejadian A.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Akan dibentuk kupon terdiri dari empat angka berbeda yang dipilih dari $\{0, 1,3,5,7\} $.
*). Kita misalkan :
A = kejadian angka pertama tidak nol.
B = kejadian angka terakhir (angka keempat) tidak nol.
Sehingga :
$ A \cap B = \, $ kejadian angka pertama dan terakhir tidak boleh nol.
$ A \cup B = \, $ kejadian angka pertama tidak nol atau angka terakhir tidak nol.
*). Menentukan $ n(A), \, n(B), \, $ dan $ n(A \cap B) $ :
*). Kejadian A,
-). angka pertama tidak nol, berarti yang boleh antara {1,3,5,7} dengan banyak cara $ P_1^4$.
-). tiga angka sisanya bebas bisa dipilih dari 4 angka tersisa karena satu angka sudah digunakan untuk angka pertama, denga banyak cara $ P_3^4 $.
Sehingga $ n(A) = P_1^4 \times P_3^4 = \frac{4!}{(4-1)!} . \frac{4!}{(4-3)!} = 4. (4.3.2) = 96 $
*). Kejadian B,
-). angka terakhir tidak nol, berarti yang boleh antara {1,3,5,7} dengan banyak cara $P_1^4$.
-). tiga angka sisanya bebas bisa dipilih dari 4 angka tersisa karena satu angka sudah digunakan untuk angka pertama, denga banyak cara $ P_3^4 $.
Sehingga $ n(B) = P_1^4 \times P_3^4 = \frac{4!}{(4-1)!} . \frac{4!}{(4-3)!} = 4. (4.3.2) = 96 $
*). Kejadian $ A \cap B $ (angka pertama dan terakhir tidak nol)
-). angka pertama dan terakhir tidak nol, berarti angka yang boleh antara {1,3,5,7}. Kita memilih 2 angka dari angka tersebut dengan banyak cara $P_2^4$.
-). dua angka sisanya bebas bisa dipilih dari 3 angka yang tersisa karena dua angka sudah dipakai untuk mengisi angka pertama dan terakhir. Kita memilih dua angka dari tiga angka tersisa dengan banyak cara $ P_2^3 $.
Sehingga $ n(A \cap B) = P_2^4 \times P_2^3 = (4.3).(3.2) = 72 $.
*). Menentukan $ n(A \cup B) $ :
$ \begin{align} n(A \cup B) & = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ & = 96 + 96 - 72 \\ & = 120 \end{align} $
Jadi, banyak kupon yang dapat dibuat teridiri dari empat angka dengan angka pertama tidak nol atau angka terakhir tidak nol sebanyak 120 kupon . $\, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar