Kode 246 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ (identitas trigonometri).
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
$ f(x) = \theta + k 2\pi $ dan $ f(x) = -\theta + k2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) & = 1 \\ (\cos 3x + \frac{\sin 3x}{\cos 3x})(\cos 3x - \frac{\sin 3x}{\cos 3x}) & = 1 \\ \frac{(\cos ^2 3x + \sin 3x)}{\cos 3x}\frac{(\cos ^2 3x - \sin 3x)}{\cos 3x} & = 1 \\ \frac{(\cos ^4 3x - \sin ^2 3x)}{\cos ^2 3x} & = 1 \\ \cos ^4 3x - \sin ^2 3x & = \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = \sin ^2 3x + \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = 1 \\ \cos 3x & = \pm \sqrt[4]{1} \\ \cos 3x & = \pm 1 \\ \cos 3x = 1 \vee \cos 3x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan persamaan trigonometri dengan $ k $ adalah bilangan asli :
Pertama untuk $ \cos 3x = 1 \rightarrow \cos 3x = \cos 0^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 1 \times 120^\circ = 120^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 2 \times 120^\circ = 240^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 2]3 \times 120^\circ = 360^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \end{align} $
Hasilnya akan sama dengan yang diatasnya.

Kedua Pertama untuk $ \cos 3x = -1 \rightarrow \cos 3x = \cos 180^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 60^\circ + 1 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = -60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = -60^\circ + 1 \times 120^\circ = 60^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = -60^\circ + 2 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = -60^\circ + 3 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
Sehingga solusinya adalah :
$ x = \{ 60^\circ, \, 120^\circ, \, 180^\circ, \, 240^\circ, \, 300^\circ, \, 360^\circ \} $
Jadi, ada 6 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $



3 komentar:

  1. Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.

    Saya kutip dr wikipedia. Ternyata di soal bilangan asli nya yang definisi pertama yaitu bilangan bulat positif tanpa nol. Kalau pakai definis kedua , banyak nilai x yang memenuhi persamaan ada 7 yaitu
    x=(0,60,120,180,240,300,360)

    Cara lain selain pake cara diatas juga bisa pakai konsep sudut pertengahan

    BalasHapus
  2. oh iya, menurut saya di kurikulum Indonesia , definisi bilangan asli yaitu bilangan bulat positif . Kalau bilangan bulat positif dan nol itu definisi bilangan cacah.

    JFYI

    BalasHapus
  3. Hallow @Bobbi,

    Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

    Terimakasih juga untuk tambahan informasinya. Untuk soal-soal sbmptn memang kita harus lebih teliti juga dengan yang diketahui pada soalnya agar sesuai dengan yang diminta.

    Bilangan asli $ = \{ 1, 2, 3, ... \} $
    Bilangan cacah $ = \{ 0, 1, 2, 3, ... \} $

    Semoga terus bisa bermanfaat.

    BalasHapus