Kode 248 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus :
Dari gambar segitiga di atas berlaku aturan Cosinus yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubusnya adalah 6.
 

$ \angle (MNP, PB) = \angle (OP, PB) = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ BO = 4\sqrt{2} $.
Panjang PO pada $ \Delta PDO $ :
$ PO = \sqrt{PD^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} $
Panjang PB pada $ \Delta PDB $ :
$ PB = \sqrt{PD^2 + DB^2} = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 72} = \sqrt{88} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{PO^2 + PB^2 - OB^2}{2.PO.PB} \\ & = \frac{(\sqrt{24})^2 + (\sqrt{88})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{24}.\sqrt{88}} \\ & = \frac{24 + 88 - 32}{2.(2 . \sqrt{2} . \sqrt{3}).(2.\sqrt{2}.\sqrt{11})} \\ & = \frac{80}{16\sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5}{33} \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{5}{33} \sqrt{33} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar