Kode 249 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x^2+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a + b + c = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ -44 \, $ C). $ 54 \, $ D). $ -64 \, $ E). $ -74 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
*). $ [x^2 +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ [x^2 +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, $ ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai $ x $ yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $. Misalkan salah satu akarnya adalah $ x = z $, maka $ p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 $.
*). Dari bentuk $ z^3 - 3z + 5 = 0 $, kita peroleh :
$ z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 $.
kita kalikan dengan $ z $ :
$ z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z $.
*). Substitusi $ x = z \, $ ke pers(i) dan $ p(z) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = z $ ke pers(ii), dan $ p(z) = 0 $ , serta $ z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z $ serta kita gunakan $ f(z) = 3z^2 - 2 $
$\begin{align} [x^2 +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z^2 +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z^2 + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [4z^2 - 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 16z^4 - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 16(3z^2 - 5z) - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 48z^2 - 80z - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 32z^2 - 80z + 4 & = az^2 + bz + c \\ \end{align} $
dari persamaan $ 32z^2 - 80z + 4 = az^2 + bz + c $ kita peroleh $ a = 32, b = -80, $ dan $ c = 4 $.
*). Menentukan hasil :
$ a + b + c = 32 + (-80) + 4 = -44 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = -44 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar