2009 Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ 1 \leq x \leq 3 \, $ B). $ 1 \leq x \leq \sqrt{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
C). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $ D). $ 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
E). $ 0 \leq x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Letakkan akar-akarnya dalam garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Mencari solusi syarat jika ada,
5). Iriskan semua HP yang diperoleh.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} - \frac{1}{\sqrt{x}} & \leq 0 \\ \frac{4\sqrt{x}.\sqrt{x} - (x^2+3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \\ \frac{4x - x^2 - 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ \frac{x^2 - 4x + 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x-3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0 \end{align} $ .
-). Akar-akarnya :
$(x-1)(x-3) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 3 $
$ \sqrt{x} = 0 \rightarrow x = 0 $
$ x^2 + 3 = 0 \, $ tidak memiliki akar real karena $ D < 0 $.
-). Garis bilangannya :
 

Uji titik ke bentuk pertidaksamaan terakhir (yang sudah dimodifikasi).
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ (positif), maka solusinya :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} $
*). Syarat akar dan penyebut :
syarat dalam akar : positif, syarat penyebut tidak boleh nol, sehingga
$ \sqrt{x} > 0 \rightarrow HP_2 = \{ x > 0 \} $.
*). Solusi Totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} \cap \{ x > 0 \} \\ & = \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \} \end{align} $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar