2010 : Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 - bx + 1 = 0 $ adalah $ p $ dan $ 2p$, dengan $ p $ bilangan bulat. Jika $1, \, a, \, b $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika, maka $ p = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Operasi akar-akar PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Aritmetika memiliki ciri-ciri : Selisih sama
$ U_1 , U_2, U_3, .... \, $ maka $ U_2 - U_1 = U_3 - U_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 - bx + 1 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $ , dengan $ p $ bilangan bulat, sehingga operasi akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_ 2 & = \frac{-b}{a} \\ p + 2p & = \frac{-(-b)}{a} \\ 3p & = \frac{b}{a} \\ p & = \frac{b}{3a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x_1 . x_ 2 & = \frac{c}{a} \\ p . 2p & = \frac{1}{a} \\ 2p^2 & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Susbtitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} p = \frac{b}{3a} \rightarrow 2p^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b}{3a} )^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b^2}{9a^2} ) & = \frac{1}{a} \\ \frac{2b^2}{9a^2} & = \frac{1}{a} \\ a & = \frac{2}{9} b^2 \end{align} $
*). Barisan $ 1, a, b \, $ adalah aritmetika sehingga selisih sama :
$ \begin{align} a - 1 & = b - a \\ 2a & = b + 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). substitusi $ a = \frac{2}{9} b^2 $ ke persamaan(iii) :
$ \begin{align} 2a & = b + 1 \\ 2 . \frac{2}{9} b^2 & = b + 1 \\ \frac{4}{9} b^2 & = b + 1 \\ 4b^2 & = 9b + 9 \\ 4b^2 - 9b - 9 & = 0 \\ (4b + 3)(b - 3) & = 0 \\ b = -\frac{3}{4} \vee b & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} b = -\frac{3}{4} \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{8} \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{-\frac{3}{4}}{3 . \frac{1}{8} } = -2 \\ b = 3 \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (3)^2 = 2 \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{3}{3 .2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Karena nilai $ p $ bulat, maka $ p = -2 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ p = -2 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar