2010 : Pembahasan Turunan UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Kurva $ y = \frac{x^2}{x-1} $ mencapai maksimum relatif di ....
A). $ (2,4) \, $ B). $ (0,0) \, $ C). $ (2,\frac{4}{3}) \, $ D). $ (3,\frac{9}{2}) \, $ E). $ (-2, -\frac{4}{3}) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan :
*). $ y = f(x) \, $ maksimum atau minimum relatif pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Uji turunan pertama :
Untuk menentukan jenis maksimum atau minimum relatif, kita bisa menggunakan uji turunan pertama.
*). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2}{x-1} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = x - 1 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x.(x-1) - x^2.1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \\ \end{align} $ .
*). Menentukan nilai $ x $ dari syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} & = 0 \\ x^2 - 2x & = 0 \\ x(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
*). Uji turunan pertama untuk $ x = 0 $ dan $ x = 2 $ sehingga kita bisa mengetahui mana yang menyebabkan nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif. Kita gunakan garis bilangan turunan pertama.
 

Dari garis bilangan tersebut, dapat disimpulkan :
$ f(x) $ mencapai maksimum relatif pada saat $ x = 0 $,
$ f(x) $ mencapai minimum relatif pada saat $ x = 2 $,
*). Susbstitusi nilai $ x = 0 $ ke fungsi awal : $ y = f(x) = \frac{x^2}{x-1} $
$ x = 0 \rightarrow y = \frac{x^2}{x-1} = \frac{0^2}{0-1} = 0 $
artinya fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ mencapai maksimum relatif di titik $(0,0)$.
Jadi, kurva maksimum relatif di titik $(0,0) . \, \heartsuit $



2 komentar:

  1. Hallo Pak Putu. Pak saya mau tanya itu kan

    mecapai minimum pada saat x = 2
    => F(2) = 4/1 = 4

    Berarti nilai minimum adalah 4

    Titik maksimum (0,0)

    Berarti nilai maksimum adalah 0

    0<4

    Pertanyaan saya mungkinkah pak, nilai Maksimumnya lebih kecil daripada Nilai minimumnya?

    Terimakasih Pak Putu

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Bobbi,

      Terimakasih untuk kunjungan dan pertanyaannya.

      Nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif berlaku pada interval tertentu saja (tidak berlaku untuk semua $x$). Kalau dilihat dari grafik atau kurvanya, maka nilai maksimum relatif itu menyatakan titik puncak dan nilai minimum relatif itu menyatakan titik lembahnya.

      Coba gambar kurvanya menggunakan software, pasti bisa kita lihat bahwa $ (0,0) $ sebagai puncak dan $ (2,4) $ sebagai titik lembahnya.

      Artinya dapat kita simpulkan, nilai maksimum atau minimum tidak selalu ditentukan oleh besarnya nilai akan tetapi letak dari titik tersebut.

      Untuk memastikan kebenarannya tanpa harus menggambar kurvanya, maka kita gunakan teori turunan (penggunaan turunan).

      Seperti itu penjelasannya.

      Semoga bisa terus membantu.

      Hapus