Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang membuat $ \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \, $ maksimum adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{5} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $ E). $ \frac{\pi}{2} $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{5} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $ E). $ \frac{\pi}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi $ = f(x) $ akan mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Integral Substitusi :
$ \int [f(x)]^n . g(x) dx = \int [u]^n . g(x) \, \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u^\prime \, $ = turunan dari $ u $.
*). Fungsi $ = f(x) $ akan mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Integral Substitusi :
$ \int [f(x)]^n . g(x) dx = \int [u]^n . g(x) \, \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u^\prime \, $ = turunan dari $ u $.
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan integral dan turunan fungsinya :
Misalkan $ u = \sin x \rightarrow u^\prime = \cos x $
$\begin{align} f(k) & = \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \\ & = \int_0^k (\sin x)^2 \cos x dx \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{\cos x } \\ & = \int (u)^2 du \\ & = \frac{1}{3}u^3 \\ & = [\frac{1}{3}(\sin x)^3]_0^k \\ & = [\frac{1}{3}(\sin k)^3] - [\frac{1}{3}(\sin 0)^3] \\ & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 - 0 \\ f(k) & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 \\ f^\prime (k) & = 3.\frac{1}{3}(\sin k)^2 \cos k \\ f^\prime (k) & = (\sin k)^2 \cos k \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ f^\prime (k) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (k) & = 0 \\ (\sin k)^2 \cos k & = 0 \\ \sin k = 0 \vee \cos k & = 0 \end{align} $
$ \sin k = 0 \rightarrow k = 0, \, \pi $
$ \cos k = 0 \rightarrow k = \frac{\pi}{2} $
Karena $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ , maka $ k = \frac{\pi}{2} $. Artinya fungsi $ f(k) $ akan maksimum pada saat $ k = \frac{\pi}{2} $.
Jadi, Nilai $ k = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $
*). Menentukan integral dan turunan fungsinya :
Misalkan $ u = \sin x \rightarrow u^\prime = \cos x $
$\begin{align} f(k) & = \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \\ & = \int_0^k (\sin x)^2 \cos x dx \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{\cos x } \\ & = \int (u)^2 du \\ & = \frac{1}{3}u^3 \\ & = [\frac{1}{3}(\sin x)^3]_0^k \\ & = [\frac{1}{3}(\sin k)^3] - [\frac{1}{3}(\sin 0)^3] \\ & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 - 0 \\ f(k) & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 \\ f^\prime (k) & = 3.\frac{1}{3}(\sin k)^2 \cos k \\ f^\prime (k) & = (\sin k)^2 \cos k \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ f^\prime (k) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (k) & = 0 \\ (\sin k)^2 \cos k & = 0 \\ \sin k = 0 \vee \cos k & = 0 \end{align} $
$ \sin k = 0 \rightarrow k = 0, \, \pi $
$ \cos k = 0 \rightarrow k = \frac{\pi}{2} $
Karena $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ , maka $ k = \frac{\pi}{2} $. Artinya fungsi $ f(k) $ akan maksimum pada saat $ k = \frac{\pi}{2} $.
Jadi, Nilai $ k = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.