Kode 252 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 8$, dan kurva $ y = x^3$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^4 = .... $
A). $ 2^5 \, $ B). $ 2^7 \, $ C). $ 2^8 \, $ D). $ 2^9 \, $ E). $ 2^{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Sifat Eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva
-). titik potong $ y = 8 $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = 8 \rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2 $
-). titik potong $ y = k $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = k \rightarrow x = k^\frac{1}{3} $
*). Luas daerah C :
$\begin{align} L_C & = \int \limits_0^2 (8 - x^3 ) dx \\ & = [8x - \frac{1}{4}x^4 ]_0^2 \\ & = 8.2 - \frac{1}{4}.2^4 \\ & = 16 - 4 = 12 \end{align} $
*). Karena $ y = k $ membagi daerah C menjadi dua daerah yang sama besar, sehingga $L_A = L_B $ dan $ L_A = \frac{1}{2}L_C $ .
$\begin{align} L_A & = \frac{1}{2}L_C \\ \int \limits_0^{k^\frac{1}{3}} (k - x^3 ) dx & = \frac{1}{2} \times 12 \\ [kx - \frac{1}{4}x^4 ]_0^{k^\frac{1}{3}} & = 6 \\ k.k^\frac{1}{3} - \frac{1}{4}(k^\frac{1}{3})^4 & = 6 \\ k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{4}{4}.k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{3}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ k^\frac{4}{3} & = 6 \times \frac{4}{3} \\ k^\frac{4}{3} & = 8 \\ k^\frac{4}{3} & = 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (k^\frac{4}{3})^3 & = (2^3)^3 \\ k^4 & = 2^9 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^4 = 2^9 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar