dunia informa: matipa kode 252 tahun 2016

Tampilkan postingan dengan label matipa kode 252 tahun 2016. Tampilkan semua postingan

Kode 252 Pembahasan Integral dan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang membuat $ \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \, $ maksimum adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{5} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $ E). $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi $ = f(x) $ akan mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Integral Substitusi :
$ \int [f(x)]^n . g(x) dx = \int [u]^n . g(x) \, \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u^\prime \, $ = turunan dari $ u $.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan integral dan turunan fungsinya :
Misalkan $ u = \sin x \rightarrow u^\prime = \cos x $
$\begin{align} f(k) & = \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \\ & = \int_0^k (\sin x)^2 \cos x dx \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{\cos x } \\ & = \int (u)^2 du \\ & = \frac{1}{3}u^3 \\ & = [\frac{1}{3}(\sin x)^3]_0^k \\ & = [\frac{1}{3}(\sin k)^3] - [\frac{1}{3}(\sin 0)^3] \\ & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 - 0 \\ f(k) & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 \\ f^\prime (k) & = 3.\frac{1}{3}(\sin k)^2 \cos k \\ f^\prime (k) & = (\sin k)^2 \cos k \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ f^\prime (k) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (k) & = 0 \\ (\sin k)^2 \cos k & = 0 \\ \sin k = 0 \vee \cos k & = 0 \end{align} $
$ \sin k = 0 \rightarrow k = 0, \, \pi $
$ \cos k = 0 \rightarrow k = \frac{\pi}{2} $
Karena $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ , maka $ k = \frac{\pi}{2} $. Artinya fungsi $ f(k) $ akan maksimum pada saat $ k = \frac{\pi}{2} $.
Jadi, Nilai $ k = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 8$, dan kurva $ y = x^3$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^4 = .... $
A). $ 2^5 \, $ B). $ 2^7 \, $ C). $ 2^8 \, $ D). $ 2^9 \, $ E). $ 2^{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :

Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Sifat Eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Ilustrasi Gambar :

*). Titik Potong Kedua Kurva
-). titik potong $ y = 8 $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = 8 \rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2 $
-). titik potong $ y = k $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = k \rightarrow x = k^\frac{1}{3} $
*). Luas daerah C :
$\begin{align} L_C & = \int \limits_0^2 (8 - x^3 ) dx \\ & = [8x - \frac{1}{4}x^4 ]_0^2 \\ & = 8.2 - \frac{1}{4}.2^4 \\ & = 16 - 4 = 12 \end{align} $
*). Karena $ y = k $ membagi daerah C menjadi dua daerah yang sama besar, sehingga $L_A = L_B $ dan $ L_A = \frac{1}{2}L_C $ .
$\begin{align} L_A & = \frac{1}{2}L_C \\ \int \limits_0^{k^\frac{1}{3}} (k - x^3 ) dx & = \frac{1}{2} \times 12 \\ [kx - \frac{1}{4}x^4 ]_0^{k^\frac{1}{3}} & = 6 \\ k.k^\frac{1}{3} - \frac{1}{4}(k^\frac{1}{3})^4 & = 6 \\ k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{4}{4}.k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{3}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ k^\frac{4}{3} & = 6 \times \frac{4}{3} \\ k^\frac{4}{3} & = 8 \\ k^\frac{4}{3} & = 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (k^\frac{4}{3})^3 & = (2^3)^3 \\ k^4 & = 2^9 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^4 = 2^9 . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan $ f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2 $ . Jika nilai minimum dan maksimum $ f(x) $ pada selang $ -2 \leq x \leq 2 $ berturut-turut adalah $ m $ dan $M $ , maka $ m + M = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 19 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 83 \, $ E). $ 100 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi dan syarat nilai maks/min :
$\begin{align} f(x) & = 3x^4 - 4x^3 + 2 \\ f^\prime (x) & = 12x^3 - 12x^2 \\ \text{Syarat : } \, f^\prime (x) & = 0 \\ 12x^3 - 12x^2 & = 0 \\ 12x^2(x-1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Artinya $ f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x=0 $ atau $ x = 1 $ serta pada batas interval $ -2 \leq x \leq 2 $ yaitu $ x = -2 $ atau $ x = 2 $. Kita substitusi semua nilai $ x $ tadi ke fungsi $ f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2 $.
$\begin{align} x = -2 \rightarrow f(-2) & = 3.(-2)^4 - 4.(-2)^3 + 2 = 82 \\ x = 0 \rightarrow f(0) & = 3.(0)^4 - 4.(0)^3 + 2 = 2 \\ x = 1 \rightarrow f(1) & = 3.(1)^4 - 4.(1)^3 + 2 = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = 3.(2)^4 - 4.(2)^3 + 2 = 18 \end{align} $
kita peroleh nilai minimum fungsi $ f(x) $ adalah $ 1 $ dan maksimumnya adalah $ 82 $ sehingga $ m = 1 $ dan $ M = 82$.
Nilai $ m + M = 1 + 82 = 83 $.
Jadi, nilai $ m + M = 83 . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis FH, maka nilai $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3} \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{3} \sqrt{4} \, $ D). $ \frac{1}{3} \sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{3} \sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $
*). Sudut antara bidang dan garis akan terbentuk jika keduanya bertemu (berptongan). Jika belum berpotongan, maka geser salah satunya sehingga keduanya bertemu. Menggesernya harus tetap sejajar dengan objek awalnya (garis atau bidang).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubus 6 satuan.

Kita geser HF sejajar sehingga berimpit dengan garis DB, sehingga :
$\angle (MNP,FH)=\angle (MNP,DB) = \angle DOP = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ DO = 2\sqrt{2} $.
*). Panjang PO pada segitiga PDO :
$ PO=\sqrt{PD^2+DO^2} = \sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16+8} = \sqrt{24}=2\sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \sin \alpha & = \frac{PD}{PO} \\ & = \frac{4}{2\sqrt{6}} \\ & = \frac{2}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{2}{6} \sqrt{6} = \frac{1}{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{6} . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Suatu transformasi T terdiri dari pencerminan terhadap garis $ y = x $ , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X. Jika $(2,3) $ dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah .....
A). $(-2,-3) \, $ B). $ (2,-3) \, $ C). $ (-2,3) \, $ D). $ (2,3) \, $ E). $ (3,2) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Bayangan suatu objek oleh transformasi dapat ditentukan dengan cara :
Bayangan = Matriks $ \, \times \, $ Awal.
*). Sifat matriks identitas $(I)$ :
$ I^n = I \, $ dan $ I . A = A $
dengan $ n $ bilangan asli.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ T $ :
-). Pertama, pencerminan terhadap garis $ y = x $,
$ T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). Kedua, pencerminan terhadap sumbu X,
$ T_2 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} T & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dilakukan transformasi oleh matriks T sebanyak 24 kali, artinya matriks gabungannya adalah :
$ \begin{align} MT & = \underbrace{T\circ T \circ T \circ ... \circ T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = \underbrace{T\times T \times T \times ... \times T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = T^{24} \end{align} $
*). Karena bentuk $ T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $ dan matriks gabungannya $ T^{24} $ , artinya kita harus mengalikan $ T $ sebanyak 24 kali. Namun untuk lebih memudahkan, kita cari polanya saja sebagai berikut :
$ \begin{align} T & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ T^2 & = T.T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ T^4 & = T^2.T^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = I \end{align} $
Kita peroleh $ T^4 = I \, $ (matriks identitas).
Sehingga bentuk $ T^{24} $ bisa kita ubah menjadi :
$ T^{24} = [T^4]^6 = (I)^6 = I \, $ berdasarkan sifat identitas.
*). Menentukan bayangan titik $(2,3)$ oleh transformasi $ T^{24} $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = T^{24} . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = I . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ (2,3) . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Fungsi Naik Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Fungsi $ f(x) = \sec ^2 x - \tan x \sec x $ untuk $ 0 < x < 2\pi , \, x \neq \frac{\pi}{2} $ dan $ x \neq \frac{3\pi}{2} $ naik pada interval ....
A). $ 0 < x < 90^\circ \vee 90^\circ < x < 180^\circ \, $
B). $ 0 < x < 90^\circ \vee 270^\circ < x < 360^\circ \, $
C). $ 90^\circ < x < 180^\circ \, $
D). $ 90^\circ < x < 270^\circ \, $
E). $ 90^\circ < x < 300^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \begin{align} \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 x & = 1 - \sin ^2 x \\ & = (1 - \sin x )(1 + \sin x) \end{align} $.
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan bentuk $ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan Soal dan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = \sec ^2 x - \tan x \sec x \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \\ & = \frac{1}{(1 + \sin x)} \\ f(x) & = (1 + \sin x)^{-1} \\ f^\prime (x) & = -1.(1 + \sin x)^{-2} . \cos x \\ & = -1.\frac{1}{(1 + \sin x)^2} . \cos x \\ & = \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} \end{align} $
*). Syarat Fungsi Naik :
$ \begin{align} f^\prime (x ) & > 0 \\ \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} & > 0 \\ \cos x & = 0 \rightarrow x =\{ 90^\circ , \, 270^\circ \} \\ 1 + \sin x & = 0 \rightarrow x = 270^\circ \end{align} $
*). Garis bilangan dan tanda ($+/-$) daerahnya dengan ujik titik pada ruas kiri pertidaksamaan di atas :

Yang diminta $ > 0 \, $ (daerah bertanda positif).
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} . \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 252 Pembahasan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga $ CD = 3 $ dan $ BC = 2 $. Jika $ AB = 1 $ dan $ \angle CAD = \beta $ , maka $ \sin ^2 \beta = .... $
A). $\frac{25}{26} \, $ B). $\frac{4}{5} \, $ C). $\frac{31}{175} \, $ D). $ \frac{9}{130} \, $ E). $ \frac{5}{201} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Trigonometri :
*). Rumus perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Rumus Selisih sudut :
$ \sin (x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.

*). Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Nilai $ \sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ dan $ \cos x =\frac{1}{\sqrt{5}} $
*).Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
Nilai $ \sin A = \frac{5}{\sqrt{26}} \, $ dan $ \cos A =\frac{1}{\sqrt{26}} $
*). Pada gambar di atas berlaku : $ x + \beta = A $.
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ :
$\begin{align} x + \beta & = A \\ \beta & = A - x \\ \sin \beta & = \sin (A - x ) \\ & = \sin A \cos x - \cos A \sin x \\ & = \frac{5}{\sqrt{26}} . \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{26}} . \frac{2}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{130}} - \frac{2}{\sqrt{130}} \\ \sin \beta & = \frac{3}{\sqrt{130}} \\ \sin ^2 \beta & = ( \frac{3}{\sqrt{130}} )^2 \\ \sin ^2 \beta & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus

Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.

Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD :
$\begin{align} \cos CAD & = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2.AC.AD} \\ \cos \beta & = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{26})^2 - 3^2}{2.\sqrt{5}.\sqrt{26}} \\ & = \frac{5 + 26 - 9 }{2\sqrt{130}} \\ & = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ dengan identitas:
$\begin{align} \sin ^2 \beta & = 1 - \cos ^2 \beta \\ & = 1 - (\frac{11}{\sqrt{130}} )^2 \\ & = 1 - \frac{121}{130} \\ & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $

Cara 4 : Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ dan $ (x-8)^2 + (y-8)^2 = 16 \, $ dengan sumbu-$y$. Nilai $ b $ adalah .....
A). $ 4\sqrt{2} \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Dua segitiga sebangun memiliki perbandinan sisi yang bersesuaian sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

Perhatikan garis AB dan garis singgung serta garis AD dan garis EB, mereka saling sejajar sehingga besar sudut ADC sama dengan sudut ABE. Sudut ACD dan AEB siku-siku serta sudut ADC = sudut ABE, sehingga sudut CAD sama dengan sudut BAE. Karena ketiga sudut segitiga ACD dan segitiga ABE sama, maka segitiga ACD sebangun dengan segitiga ABE.
*). Panjang AB pada segitiga ABE :
$ AB = \sqrt{AE^2 + EB^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2} $
*). Panjang AD pada segitiga ACD :
$ AD = b $ karena garis singgung memotong sumbu Y di $ y = b $.
*). Perbandingan sisi $\Delta ACD $ sama dengan $ \Delta ABE $ :
$\begin{align} \frac{AD}{AB} & = \frac{AC}{AE} \\ \frac{b}{8\sqrt{2}} & = \frac{4}{8} \\ b & = \frac{4}{8} \times 8\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $

ALternatif Cara Lainnya :
*). Sebenarnya kita juga bisa menggunakan konsep pythagoras pada segitiga ACD.
Karena segitiga ACD dan ABE sebangun, sementara segitiga ABE siku-siku sama kaki, maka segitga ACD juga siku-siku sama kaki yaitu $ AC = CD = 4 $. sehingga panjang AD :
$ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} \rightarrow b = \sqrt{4^2+4^2} = \rightarrow b = 4\sqrt{2} $.

Cara 3 : Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(0,0)$ dan jari-jari $ = r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(a,b)$ dan jari-jari $ = r $
*). Dua garis tegak lurus, perkalian kedua gradiennya $ -1 $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.
*). Persamaan garis lurus melalui titik $(x_1,y_1) $ dengan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Ilustrasi gambar

*). Gradien garis AB :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{8-0} = 1 $
Garis AC dan AB tegak lurus, sehingga
$ m_{AC} . m_{AB} = -1 \rightarrow m_{AC} . 1 = -1 \rightarrow m_{AC} = -1 $
*). Menentukan persamaan garis AC melalui titik $(x_1,y_1)=(0,0) $ dan $ m = -1 $ :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-0 & = -1(x-0) \\ y & = -x \end{align} $
*). Menentukan titik potong garis AC dengan lingkaran $x^2 + y^2 = 16 $ :
$\begin{align} y = -x \rightarrow x^2 + y^2 & = 16 \\ x^2 + (-x)^2 & = 16 \\ x^2 + x^2 & = 16 \\ 2x^2 & = 16 \\ x^2 & = 8 \\ x & = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \end{align} $
Titik C nilai $ x $ nya negatif, sehingga kita pilih $ x = -2\sqrt{2} $
Nilai $ y = -x = - (-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $
Artinya titik $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $.
*). Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis AB sehingga gradiennya sama yaitu $ m = 1 $.
*). Menentukan persamaan garis singgung melalui titik $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $ dan $ m = 1 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y -2\sqrt{2} & = 1 (x-(-2\sqrt{2})) \\ y -2\sqrt{2} & = x+2\sqrt{2} \\ y & = x+4\sqrt{2} \end{align} $
persamaan garis singgungnya adalah $ y = x + 4\sqrt{2} $.
*). Titik potong garis singgung di sumbu $ Y $ di titik $(0,b)$, kita substitusi titik tersebut ke persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} (x,y)=(0,b) \rightarrow y & = x + 4\sqrt{2} \\ b & = 0 + 4\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(0,0)$ dan jari-jari $ = r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(a,b)$ dan jari-jari $ = r $
*). Persamaan garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $(x_1,y_1)$ :
$ x_1.x + y_1.y = r^2 $
*). Dua garis tegak lurus, perkalian kedua gradiennya $ -1 $
*). Persamaan garis lurus melalui titik $(x_1,y_1) $ dengan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

*). Gradien garis AB :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{8-0} = 1 $
Garis AC dan AB tegak lurus, sehingga
$ m_{AC} . m_{AB} = -1 \rightarrow m_{AC} . 1 = -1 \rightarrow m_{AC} = -1 $
*). Menentukan persamaan garis AC melalui titik $(x_1,y_1)=(0,0) $ dan $ m = -1 $ :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-0 & = -1(x-0) \\ y & = -x \end{align} $
*). Menentukan titik potong garis AC dengan lingkaran $x^2 + y^2 = 16 $ :
$\begin{align} y = -x \rightarrow x^2 + y^2 & = 16 \\ x^2 + (-x)^2 & = 16 \\ x^2 + x^2 & = 16 \\ 2x^2 & = 16 \\ x^2 & = 8 \\ x & = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \end{align} $
Titik C nilai $ x $ nya negatif, sehingga kita pilih $ x = -2\sqrt{2} $
Nilai $ y = -x = - (-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $
Artinya titik $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $.
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2 = 16 $ di $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $ :
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = 16 \\ -2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } 2\sqrt{2} ) \\ - x+ y & = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \\ y & = x + 4\sqrt{2} \end{align} $
persamaan garis singgungnya adalah $ y = x + 4\sqrt{2} $.
*). Titik potong garis singgung di sumbu $ Y $ di titik $(0,b)$, kita substitusi titik tersebut ke persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} (x,y)=(0,b) \rightarrow y & = x + 4\sqrt{2} \\ b & = 0 + 4\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(0,0)$ dan jari-jari $ = r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(a,b)$ dan jari-jari $ = r $
*). Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $ m $ :
$ y - b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

*). Gradien garis AB :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{8-0} = 1 $
Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis AB, sehingga gradiennya sama yaitu $ m = 1 $.
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2 = 16 $ dengan $ m = 1 $ :
Pusat lingkaran $(a,b)=(0,0) $ dan $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y - 0 & = 1.(x-0) \pm 4\sqrt{1+1^2} \\ y & = x \pm 4\sqrt{2} \end{align} $
yang kita pakai adalah garis singgung atas karena yang memotong sumbu Y positif, sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ y = x + 4\sqrt{2} $.
*). Titik potong garis singgung di sumbu $ Y $ di titik $(0,b)$, kita substitusi titik tersebut ke persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} (x,y)=(0,b) \rightarrow y & = x + 4\sqrt{2} \\ b & = 0 + 4\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 252 Matematika IPA tahun 2016

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

Nomor 7

Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

Nomor 9

Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $

Nomor 10

Nomor 11

Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

Nomor 12

Nomor 13

Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $

Nomor 14

Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

Nomor 15

Pages - Menu