Kode 252 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Suatu transformasi T terdiri dari pencerminan terhadap garis $ y = x $ , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X. Jika $(2,3) $ dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah .....
A). $(-2,-3) \, $ B). $ (2,-3) \, $ C). $ (-2,3) \, $ D). $ (2,3) \, $ E). $ (3,2) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Bayangan suatu objek oleh transformasi dapat ditentukan dengan cara :
Bayangan = Matriks $ \, \times \, $ Awal.
*). Sifat matriks identitas $(I)$ :
$ I^n = I \, $ dan $ I . A = A $
dengan $ n $ bilangan asli.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ T $ :
-). Pertama, pencerminan terhadap garis $ y = x $,
$ T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). Kedua, pencerminan terhadap sumbu X,
$ T_2 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} T & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dilakukan transformasi oleh matriks T sebanyak 24 kali, artinya matriks gabungannya adalah :
$ \begin{align} MT & = \underbrace{T\circ T \circ T \circ ... \circ T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = \underbrace{T\times T \times T \times ... \times T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = T^{24} \end{align} $
*). Karena bentuk $ T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $ dan matriks gabungannya $ T^{24} $ , artinya kita harus mengalikan $ T $ sebanyak 24 kali. Namun untuk lebih memudahkan, kita cari polanya saja sebagai berikut :
$ \begin{align} T & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ T^2 & = T.T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ T^4 & = T^2.T^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = I \end{align} $
Kita peroleh $ T^4 = I \, $ (matriks identitas).
Sehingga bentuk $ T^{24} $ bisa kita ubah menjadi :
$ T^{24} = [T^4]^6 = (I)^6 = I \, $ berdasarkan sifat identitas.
*). Menentukan bayangan titik $(2,3)$ oleh transformasi $ T^{24} $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = T^{24} . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = I . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ (2,3) . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar