Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} $ mencapai minimum relatif di $ x = .... $
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ \frac{3}{2} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Untuk mengecek jenis maksimum atau minimumnya, kita bisa menggunakan uji turunan pertama dengan langkah-langkah :
1). Buat garis bilangan dari $ x $ yang kita peroleh,
2). tentukan tanda (+/$-$) pada daerah yang terbentuk dengan uji titik ke turunan pertamanya.
3). Tentukan jenisnya (maksimum/minimum) yaitu :
Jika puncak di atas, maka maksimum
Jika puncak di bawah, maka minimum.
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan pertama dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} \\ f(x) & = \frac{1}{3} \sqrt{x^2+4} - \frac{x}{5} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}. \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+4} } - \frac{1}{5} \\ 0 & = \frac{x}{3 \sqrt{x^2+4} } - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & = \frac{x}{3 \sqrt{x^2+4} } \\ 5x & = 3 \sqrt{x^2+4} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25x^2 & = 9(x^2+4) \\ 25x^2 & = 9x^2+ 36 \\ 16x^2 & = 36 \\ x^2 & = \frac{ 36}{16} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{ 36}{16} } = \pm \frac{6}{4} = \pm \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \vee x = - \frac{3}{2} \end{align} $
*). Garis bilangan untuk cek jenisnya :
 

Artinya fungsi $ f(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} $ akan :
-). Maksimum relatif pada saat $ x = -\frac{3}{2} $ dan
-). Minimum relatif pada saat $ x = \frac{3}{2} $.
Jadi, minimum relatif saat $ x = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar