Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 = 5 $, maka nilai maksimum dari $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah ....
A). $ \frac{25}{4} \, $ B). $ \frac{25}{9} \, $ C). $ \frac{25}{16} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{25}{36} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m}. {}^a \log b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dan Fungsi :
-). Misalkan $ a = {}^3 \log x $ dan $ b = {}^2 \log y $.
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + {{}^2}^2 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + \frac{2}{2}. {}^2 \log y & = 5 \\ {}^3 \log x + {}^2 \log y & = 5 \\ a + b & = 5 \\ a & = 5 - b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). bentuk $ {}^3 \log x . {}^2 \log y = a.b $
$ \begin{align} ab & = (5-b)b \\ f(b) & = 5b - b^2 \end{align} $
Artnya nilai maksimum $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ sama dengan nilai maksimum dari fungsi $ f(b) = 5b - b^2 $.
*). Syarat maksimum : $ f^\prime (b) = 0 $ :
$ \begin{align} f^\prime (b) = 0 \\ 5 - 2b = 0 \\ b = \frac{5}{2} \end{align} $ .
pers(i) : $ a = 5 - b = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $.
Artinya $ ab $ akan maksimum pada saat $ a = \frac{5}{2} $ dan $ b = \frac{5}{2} $.
Nilai maksimum dari $ a.b $ :
$ ab = \frac{5}{2}.\frac{5}{2} = \frac{25}{4} $.
Jadi, nilai maksimum $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah $ \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar