Pembahasan Suku Banyak UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar persamaan suku banyak $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $ membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka $ p - 36 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar suku banyak :
Misalkan $ ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 $ dan $ x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1+x_2+x_3 = \frac{-b}{a} $
Operasi perkalian : $ x_1.x_2.x_3 = \frac{-d}{a} $
*). Barisan aritmetika :
Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a+(n-1)b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaannya : $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $
$ a = 1 , b = -12, c = p + 4 , $ dan $ d = -(p+8) $.
*). Akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $ membentuk barisan aritmetika dengan beda 2, kita misalkan $ x_1 = k $, maka $ x_2 = k+ 2 $ dan $ x_3 = k + 4 $ (mereka membentuk barisan aritmetika $ k , k+2, k+ 4 $).
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1+x_2+x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k+(k+2)+(k+4) & = \frac{-(-12)}{1} \\ 3k+6 & = 12 \\ k & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akarnya :
$ x_1 = k = 2 , x_2 = k+2 = 4 , $ dan $ x_3 = k+4 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p $ dengan operasi perkalian :
$\begin{align} x_1.x_2.x_3 & = \frac{-d}{a} \\ 2.4.6 & = \frac{-[-(p+8)]}{1} \\ 48 & = p+8 \\ p & = 40 \end{align} $
Sehingga nilai $ p - 36 = 40 - 36 = 4 $.
Jadi, nilai $ p - 36 = 4 . \, \heartsuit $

Catatan :
Salah satu nilai akar yang sudah kita temukan bisa langsung disubstitusi ke persamaan $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $, akan kita peroleh juga nilai $ p = 40 $. Cara ini kita lakukan jika lupa dengan operasi perkaliannya.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar