Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-$n$ deret geometri adalah $ U_n$. Jika diketahui $ \frac{U_6}{U_8}= 3 $ dan $ U_2.U_8 = \frac{1}{3} $ , maka nilai $ U_{10} = .... $
A). $ \frac{1}{27} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{27} \, $ C). $ \frac{1}{9} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{9} \, $ E). $ \frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (\sqrt{x})^n x ^ \frac{n}{2} $ dan $ x^{m+n} = x^m . x^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ r $ :
$ \begin{align} \frac{U_6}{U_8} & = 3 \\ \frac{ar^5}{ar^7} & = 3 \\ \frac{1}{r^2} & = 3 \\ r^2 & = \frac{1}{3} \\ r & = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} U_2.U_8 & = \frac{1}{3} \\ ar.ar^7 & = \frac{1}{3} \\ a^2.r^8 & = \frac{1}{3} \\ a^2.\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^8 & = \frac{1}{3} \\ a^2.\left( \frac{1}{81} \right) & = \frac{1}{3} \\ a^2 & = \frac{1}{3} \times 81 = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = ar^9 \\ & = 3\sqrt{3} . ( \frac{1}{3}\sqrt{3})^9 \\ & = 3\sqrt{3} . ( \frac{1}{3}\sqrt{3}) . ( \frac{1}{3}\sqrt{3})^8 \\ & = 3 . \frac{1}{3^8} .( \sqrt{3})^8 \\ & = 3 . \frac{1}{3^8} .( 3^4) \\ & = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = \frac{1}{27} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar