dunia informa: matipa um ugm tahun 2008

Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2008. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ dan $ |6-x| > 3x \, $ adalah ....
A). $ x < -3 \, $ atau $ 0 \leq x < \frac{3}{2} $
B). $ x < \frac{3}{2} \, $
C). $ x < -3 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{3}{2} $
E). $ 0 < x < \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 1 \end{align} $
Garis bilangan :

Sehingga solusi : $ HP_1 = \{ x < -3 \vee x > 1 \} $
*). Pertidaksamaan kedua :
$ |6 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 6 - x & , \text{ untuk } x ) \leq 6 \\ -(6 - x) & , \text{ untuk } x > 6 \end{array} \right. $
-). Untuk $ x \leq 6 \rightarrow | 6 - x | = 6 - x $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ 6 - x > 3x \\ -4x > -6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x < \frac{3}{2} \end{align} $
Solusinya untuk $ x \leq 6 $ adalah $ x < \frac{3}{2} $
-). Untuk $ x > 6 \rightarrow | 6 - x | = -(6 - x) = x - 6 $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ x - 6 > 3x \\ -2x > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x < 3 \end{align} $
karena $ x > 6 $ maka bentuk $ x < 3 $ tidak memenuhi, artinya untuk kasus $ x > 6 $ tidak ada solusinya. Sehingga solusi pertidaksamaan kedua adalah $ HP_2 = \{ x < \frac{3}{2} \} $ .
*). Solusi kedua pertidaksamaan yaitu :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < -3 \vee x > 1 \} \cap \{ x < \frac{3}{2} \} \\ & = \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi $ \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ f(x) = 3\sqrt{2x+1} $ , maka invers dari $ \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -0,9 & -0,1 \\ 0,6 & -0,6 \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} 0,9 & -0,6 \\ 0,1 & 0,6 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & -0,6 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -0,6 & 0,6 \\ -0,1 & -0,9 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
dengan $ |A| = det(A) = ad-bc $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime (x) = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan nilai fungsi:
$ \begin{align} f(x) & = 3\sqrt{2x+1} \\ f^\prime (x) & = 3.\frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \\ f(4) & = 3\sqrt{2.4+1} = 3 \sqrt{9} = 9 \\ f(1\frac{1}{2}) & = f(\frac{3}{2} = 3\sqrt{2.\frac{3}{2}+1} = 3 \sqrt{4} = 6 \\ f^\prime (4) & = \frac{3}{\sqrt{2.4+1}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1 \\ f^\prime (1\frac{1}{2}) & =f^\prime (\frac{3}{2}) \frac{3}{\sqrt{2.\frac{3}{2}+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga matriksnya menjadi :
$ \begin{align} A & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -4 . \frac{3}{2} \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -6 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} \frac{9}{6} & \frac{-6}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac{6}{6} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{2} & -1 \\ \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} \right) \\ |A| & = \frac{3}{2}. 1 - (-1). \frac{1}{6} = \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan $ A^{-1} $ :
$ \begin{align} A^{-1} & = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{\frac{5}{3} } \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) \\ & = \frac{3}{5} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{9}{10} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Kombinasi UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Ada 5 pasang tamu dalam suatu ruangan di sebuah pesta. Jika masing-masing tamu belum saling mengenal kecuali dengan pasangannya dan mereka berjabat tangan dengan setiap orang yang belum mereka kenal, maka terjadi jabat tangan sebanyak ....
A). $ 30 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 40 \, $ D). $ 45 \, $ E). $ 50 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kombinasi pada Peluang
*). Untuk Kasus jabat tangan, urutan tidak diperhatikan (si A jabat B sama saja dengan si B jabat si A) sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi dengan rumus :
$ C^n_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 5 pasang tamu, sehingga totalnya ada 10 orang. Jika 10 orang tersebut saling berjabat tangan, maka ada jabat tangan sebanyak :
$ \begin{align} C^{10}_2 = \frac{10!}{(10-2)!.2!} = \frac{10.9.8!}{8!.2!} = \frac{10.9}{2} = 45 \end{align} $
Artinya keseluruhan terjadi 45 jabat tangan pada 10 orang tersebut tanpa ada syarat (semuanya jabat tangan meskipun dengan pasangannya sendiri).
*). Namun ada 5 jabat tangan yang tidak sah karena terjadi jabat tangan antara pasangannya masing-masing, sehingga jabat tangan yang terbentuk adalah $ 45 - 5 = 40 $.
Jadi, ada 40 jabat tangan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Dari suatu deret aritmetika dengan suku ke-$n$ adalah $ U_n$, diketahui $ U_3 +U_6+U_9+U_{12} = 72 $. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ....
A). $ 231 \, $ B). $ 238 \, $ C). $ 245 \, $ D). $ 252 \, $ E). $ 259 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan deret aritmetika
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaan :
$ \begin{align} U_3 +U_6+U_9+U_{12} & = 72 \\ (a + 2b ) + ( a + 5b) + (a + 8b) + ( a + 11b) & = 72 \\ 4a + 26b & = 72 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 13b & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_{14} $ dari pers(i) di atas :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{14} & = \frac{14}{2}(2a + (14-1)b) \\ & = 7.(2a + 13b) \\ & = 7.(36) = 252 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_{14} = 252 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-(2x-3)\} = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus limit $ x $ menuju tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-(2x-3)\} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-\sqrt{(2x-3)^2} \} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-\sqrt{4x^2 - 12x + 9} \} \\ & = \frac{b - p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4 - (-12)}{2\sqrt{4}} \\ & = \frac{16}{2.2} = 4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Pada kubus ABCD.EFGH, P pada EG sehingga $ EP = 3PG $. Jika jarak E ke AP adalah $ a $, maka rusuk kubus tersebut adalah ....
A). $ \frac{a}{3}\sqrt{15} \, $ B). $ \frac{4a}{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{17} \, $ D). $ a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan panjang pada dimensi tiga bisa menggunakan perbandingan luas segitiga.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

Misalkan panjang rusuk kubus $ = x $.
Jarak titik E ke AP adalah panjang $ EM = a $
Panjang $ EG = x\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
Panjang $ EP = \frac{3}{4}EG = \frac{3}{4}x\sqrt{2} $
*). Panjang AP pada segitiga AEP :
$ \begin{align} AP & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{x^2 + (\frac{3}{4}x\sqrt{2} )^2} \\ & = \sqrt{x^2 + \frac{18}{16}x^2} = \sqrt{\frac{34}{16}x^2} \\ & = \frac{x}{4}\sqrt{34} = \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AEP :
$ \begin{align} \text{Luas AEP, alas AP } & = \text{Luas AEP, alas EA} \\ \frac{1}{2}.AP.EM & = \frac{1}{2}.AE.EP \\ AP.EM & = AE.EP \\ \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} .a & = x . \frac{3}{4}x\sqrt{2} \\ \sqrt{17} .a & = 3x \\ x & = \frac{a}{3}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, panjang rusuk kubus adalah $ \frac{a}{3}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral Turunan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Gradien garis singgung suatu kurva di titik $ (x,y) $ sama dengan $ 2x + 5 $. Jika kurva ini melalui titk $(2,20) $ , maka kurva tersebut memotong sumbu X di titik ....
A). $ (2,0) \, $ dan $ (3,0) $
B). $ (-2,0) \, $ dan $ (-3,0) $
C). $ (2,0) \, $ dan $ (-3,0) $
D). $ (-2,0) \, $ dan $ (3,0) $
E). $ (-2,0) \, $ dan $ (2,0) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Garis singgung kurva : $ m = f^\prime ( x ) $
*). Integral menentukan fungsi awal :
$ f(x) = \int f^\prime (x) \, dx $
*). untuk menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X, caranya substitusi $ y = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui gradien : $ m = 2x + 5 $
sehingga $ f^\prime (x) = m = 2x + 5 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ dengan integral :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^\prime (x) \, dx \\ & = \int (2x + 5) \, dx \\ & = \frac{2}{2}x^2 + 5x + c \\ f(x) & = x^2 + 5x + c \end{align} $
*). Substitusi titik $ (x,y) = (2,20 ) $ ke fungsi $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + 5x + c \\ 20 & = 2^2 + 5.2 + c \\ 20 & = 14 + c \\ 6 & = c \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 + 5x + 6 $
*). Menentukan titik potong sumbu X, substitusi $ y = f(x) = 0 $ :
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + 5x + 6 \\ 0 & = x^2 + 5x + 6 \\ 0 & = (x +2)(x+3) \\ x & = -2 \vee x = -3 \end{align} $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-2,0 ) $ dan $ ( -3,0) . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Sembilan motor terdiri dari 4 Honda, 3 Yamaha, dan 2 Suzuki akan diparkir membentuk suatu barisan. Jika setiap merk motor tidak boleh terpisah dari barisan tersebut, maka banyaknya barisan yang dapat terbentuk adalah ....
A). $ 188 \, $ B). $ 376 \, $ C). $ 864 \, $ D). $ 1728 \, $ E). $ 3556 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah Pencacahan :
*). Jika ada $ p $ cara kejadian pertama dan $ q $ cara pada kejadian kedua, maka total cara adalah $ p \times q $ cara.
*). Faktorial :
$ n! = n.(n-1). (n-2)...3.2.1 $
Contoh :
$ 4! = 4.3.2.1 = 24 $
$ 2! = 2.1 = 2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Agar setiap merk motor tidak terpisah, maka kita blok (kelompokkan) masing-masing merk sehingga ada tiga kelompok yang dapat disusun dengan $ 3! $ cara.
*). Setiap merk yang di blok bisa kita acak lagi :
Honda ada $ 4! $ cara,
Yamaha ada $ 3! $ cara,
Suzuki ada $ 2! $ cara,
Sehingga total cara :
$ = 3!.4!.3!.2! = 1728 \, $ cara.
Jadi, ada 1728 barisan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ a $ dan $ b $ adalah hasil pembagian $ f(x) = x^3 - 4x + 1 $ dan $ g(x) = 2x^3 + 5x^2 - 8 $ oleh $ x + 2 $, maka sisa hasil pembagian $ f(x) - g(x) $ oleh $ ( x-a-b) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Sisa pada Suku Banyak :
$ f(x) $ dibagi $ ( x + a) $ memberikan sisa $ = f(-a) $
(substitusikan akar dari pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ f(x) $ dibagi $ x + 2 $ bersisa $ a $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = f(-2) \\ a & = (-2)^3 - 4.(-2) + 1 \\ & = -8 + 8 + 1 = 1 \end{align} $
*). $ g(x) $ dibagi $ x + 2 $ bersisa $ b $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = g(-2) \\ b & = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 8 \\ & = -16 + 20 - 8 = -4 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x - a - b = x - 1 - (-4) = x + 3 $
*). Sisa pembagian $ f(x) - g(x) $ oleh $ x - a - b = x + 3 $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = f(-3) - g(-3) \\ & = [(-3)^3 - 4.(-3) + 1]- [2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 8] \\ & = [-14] - [-17] = 3 \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika persamaan $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $ mempunyai akar-akar real $ \alpha $ dan $ \beta $, maka nilai $ k $ yang memenuhi $ \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } < 1 $ adalah ....
A). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $
B). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ \sqrt{17} < k < 5 $
C). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ k > \sqrt{18} $
D). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ \sqrt{18} < k < 5 $
E). $ \sqrt{17} < k < 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Misalkan PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha.\beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $
$ a = 1, b = -4 , c = k -1 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{1} = 4 $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} = \frac{k - 1}{1} = k - 1 $
$ \begin{align} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ & = (4)^2 - 2(k-1) \\ & = 16 - 2k + 2 \\ & = 18 - 2k \\ \alpha^2 . \beta^2 & = (\alpha . \beta )^2 \\ & = (k-1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } & < 1 \\ \frac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2. \beta ^2 } & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - 1 & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{(k-1)^2}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{k^2 - 2k + 1}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{-k^2 + 17}{(k-1)^2} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -k^2 + 17 = 0 \rightarrow k = \pm \sqrt{17} $
$ (k-1)^2 = 0 \rightarrow k = 1 $
Garis bilangannya :

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya :
$ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $ .
Jadi, HPnya $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Pertaksamaan $ 3^{x^2-3x+k} \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \, $ mempunyai penyelesaian $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $ jika $ k = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Konsep Pertidaksamaan :
Misal ada $ f(x) \geq g(x) $ memiliki solusi (himpunan penyelesaian) $ a \leq x \leq b $ , artinya $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari $ f(x) = g(x) $ , sehingga nilai $ a $ dan $ b $ bisa kita substitusi ke pertaksamaan dan tanda ketaksamaan berubah menjadi sama dengan saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Himpunan penyelesaiannya adalah $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $, artinya $ -1 $ dan $ \frac{8}{5} $ adalah akar-akarnya sehingga bisa kita substitusi ke pertidaksamaannya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
*). Substitusi $ x = -1 $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} 3^{x^2-3x+k} & \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \\ 3^{(-1)^2-3.(-1)+k} & = \left( \frac{1}{27}\right)^{2.(-1)-2.(-1)^2} \\ 3^{1 + 3 +k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-2-2} \\ 3^{4+k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-4} \\ 3^{4+k} & = 3 ^{12} \\ 4 + k & = 12 \\ k & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 8 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Integral UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-1)x $ adalah $ 4\frac{1}{2} $ , maka $ m = .... $
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ -1 $
C). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 3 \, $ atau $ -2 $
E). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar (Rumus Cepat)
*). Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah titik potong garis dan kurva
*). sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)| = k \rightarrow f(x) = \pm k $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-1)x \\ x^2 - (2m-1)x & = 0 \rightarrow a = 1 \\ x[x-(2m-1)] & = 0 \\ x_1 = 0 \vee x_2 & = 2m - 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 4\frac{1}{2} $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}|(2m-1) - 0 |^ 3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}|2m-1 |^ 3 & = \frac{9}{2} \\ |2m-1 |^ 3 & = 27 \\ |2m-1 | & = 3 \\ 2m-1 & = \pm 3 \\ 2m-1 = 3 \vee 2m - 1 & = - 3 \\ m = 2 \vee m = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = -1 . \, \heartsuit $

Catatan :
Rumus $ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $ diperoleh dari penurunan rumus $ L = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ , sehingga sebenarnya kedua rumus tersebut sama saja.

Pembahasan Integral UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :

gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :

Garis $ y = (2m-1)x $ ada dua kemungkinan sehingga daerah yang terbentuk juga ada dua kemungkinan seperti gambar di atas.
*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-1)x \\ x^2 - (2m-1)x & = 0 \\ x[x-(2m-1)] & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2m - 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 4\frac{1}{2} $ :
Luas daerah dari gambar (a) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{0}^{2m - 1} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2m - 1} & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = 27 \\ (2m-1) & = 3 \\ m & = 2 \end{align} $
Luas daerah dari gambar (b) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{2m - 1}^{0} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{2m - 1}^{0} & = \frac{9}{2} \\ [0] -[\frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 ] & = \frac{9}{2} \\ -[\frac{1}{6}(2m-1)^3] & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = - 27 \\ (2m-1) & = -3 \\ m & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Panjang proyeksi vektor $(a, 5, -1 ) $ pada vektor $ (1,4,8) $ adalah 2, maka $ a = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (a_1,a_2,a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
*). Perkalian dot :
$ \vec{u}.\vec{v} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
*). Panjang vektor : $ |\vec{u}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} $
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ :
Panjang $ = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
*). Sifat nilai mutlak : $ |x|^2 = x^2 $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ \vec{u} = (a,5,-1) $ dan $ \vec{v} = (1,4,8) $
$ \vec{u}.\vec{v} = a.1 + 5.4 + -1. 8 = a +12 $
Panjang $ |\vec{v}| = \sqrt{1^2+4^2+8^2} = \sqrt{81} = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan panjang proyeksi adalah 2 :
$ \begin{align} \text{panjang proyeksi } & = 2 \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| & = 2 \\ \left| \frac{a+12}{9} \right| & = 2 \\ \left| a+12 \right| & = 18 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \left| a+12 \right|^2 & = 18^2 \\ ( a+12 )^2 & = 18^2 \\ ( a+12 )^2 - 18^2 & = 0 \\ ( a+12 + 18)(a +12 - 18) & = 0 \\ ( a+30)(a -6) & = 0 \\ a = -30 \vee a & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 6 . \, \heartsuit $
(yang ada di option)

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 12\cos ^2 x - \cos x - 1 = 0 $ , maka nilai $ \sec ^2 x_1 + \sec ^2 x_ 2 = .... $
A). $ 26 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 22 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \cos x $ dengan memfaktorkan :
$ \begin{align} 12\cos ^2 x - \cos x - 1 & = 0 \\ (4\cos x + 1)(3\cos x -1) & = 0 \\ \cos x_1 = -\frac{1}{4} \vee \cos x_2 & = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sec x $ :
$ \cos x_1 = -\frac{1}{4} \rightarrow \sec x_1 = \frac{1}{\cos x_1} = \frac{1}{-\frac{1}{4} } = -4 $
$ \cos x_2 = \frac{1}{3} \rightarrow \sec x_2 = \frac{1}{\cos x_2} = \frac{1}{\frac{1}{3} } = 3 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \sec ^2 x_1 + \sec ^2 x_ 2 & = (-4)^2 + 3^2=16 + 9 = 25 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sec ^2 x_1 + \sec ^2 x_ 2 = 25 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suku ke-$n$ deret geometri adalah $ U_n$. Jika diketahui $ \frac{U_6}{U_8}= 3 $ dan $ U_2.U_8 = \frac{1}{3} $ , maka nilai $ U_{10} = .... $
A). $ \frac{1}{27} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{27} \, $ C). $ \frac{1}{9} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{9} \, $ E). $ \frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (\sqrt{x})^n x ^ \frac{n}{2} $ dan $ x^{m+n} = x^m . x^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ r $ :
$ \begin{align} \frac{U_6}{U_8} & = 3 \\ \frac{ar^5}{ar^7} & = 3 \\ \frac{1}{r^2} & = 3 \\ r^2 & = \frac{1}{3} \\ r & = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} U_2.U_8 & = \frac{1}{3} \\ ar.ar^7 & = \frac{1}{3} \\ a^2.r^8 & = \frac{1}{3} \\ a^2.\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^8 & = \frac{1}{3} \\ a^2.\left( \frac{1}{81} \right) & = \frac{1}{3} \\ a^2 & = \frac{1}{3} \times 81 = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = ar^9 \\ & = 3\sqrt{3} . ( \frac{1}{3}\sqrt{3})^9 \\ & = 3\sqrt{3} . ( \frac{1}{3}\sqrt{3}) . ( \frac{1}{3}\sqrt{3})^8 \\ & = 3 . \frac{1}{3^8} .( \sqrt{3})^8 \\ & = 3 . \frac{1}{3^8} .( 3^4) \\ & = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = \frac{1}{27} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2008 Matematika IPA

Nomor 1

Nomor 2

Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 12\cos ^2 x - \cos x - 1 = 0 $ , maka nilai $ \sec ^2 x_1 + \sec ^2 x_ 2 = .... $
A). $ 26 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 22 \, $

Nomor 3

Panjang proyeksi vektor $(a, 5, -1 ) $ pada vektor $ (1,4,8) $ adalah 2, maka $ a = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Nomor 8

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \{ \sqrt{4x^2+4x+5}-(2x-3)\} = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 12

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Pages - Menu