Pembahasan Vektor UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Panjang proyeksi vektor $(a, 5, -1 ) $ pada vektor $ (1,4,8) $ adalah 2, maka $ a = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (a_1,a_2,a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
*). Perkalian dot :
$ \vec{u}.\vec{v} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
*). Panjang vektor : $ |\vec{u}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} $
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ :
Panjang $ = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
*). Sifat nilai mutlak : $ |x|^2 = x^2 $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ \vec{u} = (a,5,-1) $ dan $ \vec{v} = (1,4,8) $
$ \vec{u}.\vec{v} = a.1 + 5.4 + -1. 8 = a +12 $
Panjang $ |\vec{v}| = \sqrt{1^2+4^2+8^2} = \sqrt{81} = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan panjang proyeksi adalah 2 :
$ \begin{align} \text{panjang proyeksi } & = 2 \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| & = 2 \\ \left| \frac{a+12}{9} \right| & = 2 \\ \left| a+12 \right| & = 18 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \left| a+12 \right|^2 & = 18^2 \\ ( a+12 )^2 & = 18^2 \\ ( a+12 )^2 - 18^2 & = 0 \\ ( a+12 + 18)(a +12 - 18) & = 0 \\ ( a+30)(a -6) & = 0 \\ a = -30 \vee a & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 6 . \, \heartsuit $
(yang ada di option)


Tidak ada komentar:

Posting Komentar