Pembahasan Luasan Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ dan garis-garis singgungnya melalui titik $\left( 0, \frac{3}{2} \right) $ adalah ... satuan luas.
A). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{12} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0$
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan garis singgungnya $ y = mx + c $ melaui $(0,\frac{3}{2})$ :
Substitusi titik ke garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow \frac{3}{2} = m.0 + c \rightarrow c = \frac{3}{2} $
Sehingga persamaan garis singgungnya $ y = mx + \frac{3}{2} \rightarrow x = \frac{y - \frac{3}{2}}{m} $.
*). Mengubah fungsi parabolanya :
$ y = \sqrt{x} + 1 \rightarrow \sqrt{x} = y-1 \rightarrow x = (y-1)^2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat bersinggungan :
Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = y^2 - 2y + 1 \\ y - \frac{3}{2} & = my^2 - 2my + m \\ 2y - 3 & = 2my^2 - 4my + 2m \\ 2my^2 - (4m+2)y + 2m + 3 & = 0 \\ a = 2m , b & = -(4m+2) , c = 2m + 3 \\ \text{syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(4m+2)]^2 - 4.2m.(2m+3) & = 0 \\ 16m^2 + 16m + 4 - 16m^2 - 24m & = 0 \\ -8m + 4 & = 0 \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya (PGS) :
$ \begin{align} y & = mx + \frac{3}{2} \rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \end{align} $
*). Ilustrasi gambar daerahnya :
 

*). Menentukan titik potong garis dari parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} & = \sqrt{x} + 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x + 3 & = 2\sqrt{x} + 2 \\ x + 1 & = 2\sqrt{x} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x + 1)^2 & = (2\sqrt{x})^2 \\ x^2 + 2x + 1 & = 4x \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} ) - (\sqrt{x} + 1 ) \, dx \\ & = \int \limits_0^1 \, \frac{1}{2}x - \sqrt{x} + \frac{1}{2} \, dx \\ & = \left[ \frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}x \right]_0^1 \\ & = \left[ \frac{1}{4}.1^2 - \frac{2}{3}.1^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}.1 \right] - [0] \\ & = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} \\ & = \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{1}{12} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar