Pembahasan Maksimum Turunan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika nilai maksimum fungsi $ f(x) = x + \sqrt{a - 3x} $ adalah 1, maka $ a = .... $
A). $ \frac{-3}{4} \, $ B). $ \frac{-1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan :
$\begin{align} f(x) & = x + \sqrt{a - 3x} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 0 \\ \frac{3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 1 \\ 2\sqrt{a - 3x} & = 3 \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a - 3x & = \frac{9}{4} \\ 3x & = a - \frac{9}{4} \\ x & = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} \end{align} $
artinya $ f(x) $ maksimum pada saat $ x_p = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} $ dengan nilai maksimum adalah $ 1 $ sehingga dapat kita tulis $ f(x_p) = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dan menggunakan bentuk (i) :
$\begin{align} f(x) & = 1 \\ x + \sqrt{a - 3x} & = 1 \\ x + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} + \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{a}{3} & = 1 - \frac{3}{4} \\ \frac{a}{3} & = \frac{1}{4} \\ a & = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar