Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \, $ adalah tiga suku pertama suatu deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri : "Memiliki perbandingan sama".
misalkan ada tiga suku $ U_1, U_2, U_3 $ berlaku ,
Karena perbandingannya sama :
$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \rightarrow U_2^2 = U_1 . U_3 $
*). Rumus jumlah tak hingga deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
Diketahui $ U_1 = x-1, \, U_2 = x - \frac{3}{2}, \, U_3 = x - \frac{7}{4} $
$\begin{align} U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (x - \frac{3}{2})^2 & = (x-1)(x - \frac{7}{4}) \\ \frac{9}{4} - \frac{7}{4} & = 3x - \frac{11}{4}x \\ \frac{2}{4} & = \frac{1}{4}x \\ x & = 2 \end{align} $
Sehingga barisannya menjadi ( substitusi $ x = 2 $) :
$ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} , .... $
Artinya $ a = U_1 = 1, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan jumlah tak hingga deretnya :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align} $
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar