Pembahasan Matriks UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = 3\sqrt{2x+1} $ , maka invers dari $ \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -0,9 & -0,1 \\ 0,6 & -0,6 \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} 0,9 & -0,6 \\ 0,1 & 0,6 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & -0,6 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -0,6 & 0,6 \\ -0,1 & -0,9 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
dengan $ |A| = det(A) = ad-bc $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime (x) = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan nilai fungsi:
$ \begin{align} f(x) & = 3\sqrt{2x+1} \\ f^\prime (x) & = 3.\frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \\ f(4) & = 3\sqrt{2.4+1} = 3 \sqrt{9} = 9 \\ f(1\frac{1}{2}) & = f(\frac{3}{2} = 3\sqrt{2.\frac{3}{2}+1} = 3 \sqrt{4} = 6 \\ f^\prime (4) & = \frac{3}{\sqrt{2.4+1}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1 \\ f^\prime (1\frac{1}{2}) & =f^\prime (\frac{3}{2}) \frac{3}{\sqrt{2.\frac{3}{2}+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga matriksnya menjadi :
$ \begin{align} A & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -4 . \frac{3}{2} \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -6 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} \frac{9}{6} & \frac{-6}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac{6}{6} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{2} & -1 \\ \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} \right) \\ |A| & = \frac{3}{2}. 1 - (-1). \frac{1}{6} = \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan $ A^{-1} $ :
$ \begin{align} A^{-1} & = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{\frac{5}{3} } \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) \\ & = \frac{3}{5} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{9}{10} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

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