Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ dan $ |6-x| > 3x \, $ adalah ....
A). $ x < -3 \, $ atau $ 0 \leq x < \frac{3}{2} $
B). $ x < \frac{3}{2} \, $
C). $ x < -3 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{3}{2} $
E). $ 0 < x < \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 1 \end{align} $
Garis bilangan :
 

Sehingga solusi : $ HP_1 = \{ x < -3 \vee x > 1 \} $
*). Pertidaksamaan kedua :
$ |6 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 6 - x & , \text{ untuk } x ) \leq 6 \\ -(6 - x) & , \text{ untuk } x > 6 \end{array} \right. $
-). Untuk $ x \leq 6 \rightarrow | 6 - x | = 6 - x $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ 6 - x > 3x \\ -4x > -6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x < \frac{3}{2} \end{align} $
Solusinya untuk $ x \leq 6 $ adalah $ x < \frac{3}{2} $
-). Untuk $ x > 6 \rightarrow | 6 - x | = -(6 - x) = x - 6 $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ x - 6 > 3x \\ -2x > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x < 3 \end{align} $
karena $ x > 6 $ maka bentuk $ x < 3 $ tidak memenuhi, artinya untuk kasus $ x > 6 $ tidak ada solusinya. Sehingga solusi pertidaksamaan kedua adalah $ HP_2 = \{ x < \frac{3}{2} \} $ .
*). Solusi kedua pertidaksamaan yaitu :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < -3 \vee x > 1 \} \cap \{ x < \frac{3}{2} \} \\ & = \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi $ \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar