Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ dan $ b $ bilangan real dengan $ a > 1 $ dan $ b > 1 $. Jika $ ab = a^b $ dan $ \frac{a}{b} = a ^{3b} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kalikan kedua persamaan :
pers(i): $ ab = a^b $
pers(ii): $ \frac{a}{b} = a^{3b} $
$\begin{align} ab . \frac{a}{b} & = a^b . a^{3b} \\ a^2 & = a^{b + 3b} \\ a^2 & = a^{4b} \\ 2 & = 4b \\ b & = \frac{2}{4} =\frac{1}{2} \end{align} $
*). Substitusi $ b = \frac{1}{2} $ ke pers(i) :
$\begin{align} ab & = a^b \\ a. \frac{1}{2} & = a^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{a}{2})^2 & = (a^\frac{1}{2} )^2 \\ \frac{a^2}{4} & = a \\ a^2 & = 4a \\ a^2 - 4a & = 0 \\ a(a -4) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 4 \end{align} $
Nilai $ a = 4 $ yang memenuhi karena syarat pada soal $ a > 1 $.
Jadi, nilai $ a = 4 \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar