Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui deret aritmetika $ a_1 + a_2 + a_3 + ....$. Jika jumlah 5 suku pertama sama dengan 5 dan $ {}^6 \log (3a_1+a_5) = 2 $ , maka jumlah 13 suku pertamanya sama dengan ....
A). $ -806 \, $ B). $ -611 \, $ C). $ -403 \, $ D). $ -79 \, $ E). $ 637 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan dan deret aritmetika :
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = a + (n-1) b $
-). Jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ a_1, a_2, a_3, a_4, .... $ sama saja dengan $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
*). Menyusun persamaan :
-). jumlah 5 suku pertama = 5
$ \begin{align} S_5 & = 5 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1)b) & = 5 \\ \frac{5}{2}(2a + 4b) & = 5 \\ 5(a + 2b) & = 5 \\ a + 2b & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua :
$ \begin{align} {}^6 \log (3a_1+a_5) & = 2 \\ 3a_1+a_5 & = 6^2 \\ 3a+(a + 4b) & = 36 \\ 4a + 4b & = 36 \\ a + b & = 9 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 2b = 1 & \\ a + b = 9 & - \\ \hline b = -8 & \end{array} $
pers(ii): $ a + b = 9 \rightarrow a + (-8) = 9 \rightarrow a = 17 $.
*). Menentukanjumlah 13 suku pertamanya :
$ \begin{align} S_{13} & = \frac{13}{2}(2a + 12b) \\ & = 13(a + 6b) \\ & = 13(17 + 6.(-8)) \\ & = 13(17 - 48) \\ & = 13(-31) = -403 \end{align} $
Jadi, jumlah 13 suku pertamanya adalah $ -403 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar