Pembahasan Logaritma UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dua bilangan real $ a $ dan $ b $ memenuhi persamaan
$\left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2)\log(x^2+2)^3 = 4 $ .
Maka $ a.b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1,99 \, $ E). $ -98 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat dan definisi logaritma :
$ {}^a \log b^n = n.{}^a \log b $
$ \log b = c \rightarrow b = 10^c $
*). Bentuk $ A^2 \, $ nilainya selalu positif untuk $ A $ bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log (x^2+2) $ :
*). Menentukan akar-akar dengan mengubah persamaan :
$ \begin{align} \left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2)\log(x^2+2)^3 & = 4 \\ \left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2). 3\log(x^2+2) & = 4 \\ \left[\log (x^2+2)\right]^4 - 3[\log (x^2+2)]^2 & = 4 \\ p^4 - 3p^2 & = 4 \\ p^4 - 3p^2 - 4 & = 0 \\ (p^2 + 1)(p^2-4) & = 0 \end{align} $
$ p^2 + 1 = 0 \rightarrow p^2 = -1 \, $ (Tidak memenuhi)
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 \rightarrow p = 2 \vee p = -2 $
-). Menentukan nilai $ a.b $ untuk $ p = 2 $ dan $ p = -2 $
$ \begin{align} p = 2 \rightarrow \log (x^2+2) & = 2 \\ x^2 + 2 & = 10^2 \\ x^2 & = 98 \\ x & = \pm \sqrt{98} \\ x & = \sqrt{98} \vee x = -\sqrt{98} \\ x_1.x_2 & = \sqrt{98} . (-\sqrt{98}) = -98 \\ p = -2 \rightarrow \log (x^2+2) & = -2 \\ x^2 + 2 & = 10^{-2} \\ x^2 + 2 & = \frac{1}{100} \\ x^2 + 2 & = 0,01 \\ x^2 & = -1,99 \, \, \, \text{(Tidak memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai $ a.b = x_1.x_2 = -98 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar