Pembahasan Integral UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas bagian bidang yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = \cos 3x $ dan $ y = \sin 3x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $ B). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \, $
C). $ \frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1) \, $ D). $ \frac{1}{3}(\sqrt{3} + 1) \, $
E). $ \frac{1}{6}(\sqrt{3}- \sqrt{2}) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interal $ a \leq x \leq b $ adalah
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas $ - $ kurva bawah).
*). RUmus integral trigonometri :
$ \int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax $
$ \int \sin ax dx = -\frac{1}{a} \cos ax $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar daerahnya
 

gambar 1.
*). Menentukan titik potong kurva $ y = \cos 3x $ dan $ y = \sin 3x $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \sin 3x & = \cos 3x \\ x & = 15^\circ \end{align} $
*). Menentukan Luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^{15^\circ} [\cos 3x - \sin 3x ] dx \\ & = [\frac{1}{3}\sin 3x - (- \frac{1}{3})\cos 3x ]_0^{15^\circ} \\ & = \frac{1}{3}[ \sin 3x + \cos 3x ]_0^{15^\circ} \\ & = \frac{1}{3}[ (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ ) - (\sin 0 + \cos 0) ] \\ & = \frac{1}{3}[ (\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} ) - ( 0 + 1) ] \\ & = \frac{1}{3}[ \sqrt{2}- 1 ] \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{1}{3}[ \sqrt{2}- 1 ] . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar