Pembahasan Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = .... $
A). $ x^2\sqrt{x-1} + c \, $
B). $ x\sqrt{x-1} + c \, $
C). $ x^3\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + c \, $
D). $ x^3\sqrt{x-1} + c \, $
E). $ x^3\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1} + c $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara menyelesaikan integral yaitu bisa menggunakan teknik parsial atau tanzalin. Untuk penjelasan teknik integral parsial, silahkan baca artikelnya pada link "Teknik integral parsial".
*). RUmus dasar integral :
$ \int (x + b)^n dx = \frac{1}{n + 1} (x + b)^{n+1} + c $
*). Sifat integral :
$ \int (f(x) + g(x) ) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan dalam pengintegralan, kita pecah integralnya menjadi dua berdasarkan sifat integral :
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx + \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $
*). Menentukan integral $ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx = \int (\frac{1}{2}x^3).(x-1)^{-\frac{1}{2}} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, \frac{1}{2}x^3 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{-\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, \frac{3}{2}x^2 \, \, \, & | \, \, \, 2(x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} dx & = \frac{1}{2}x^3 .2(x-1)^{\frac{1}{2}} + (-\frac{3}{2}x^2).\frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ & \, \, + 3x.\frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +(-3). \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Menentukan integral $ \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x^2 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, 6x \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (+) \, \, 6 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x^2 \sqrt{x-1}\, dx & = 3x^2.\frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + (-6x).\frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +6. \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Hasil akhir integralnya adalah penjumlahan dari keduanya :
$ \begin{align} & \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx \\ & = \left(x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & \, \, + \left(2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} = x^3\sqrt{x-1} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ x^3\sqrt{x-1} + c . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar