Pembahasan Trigonometri Segitiga UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari $ \Delta ABC $ yang lancip diketahui besar sudut-sudut $ \angle ABC = \beta $, $ \angle BCA = \gamma $ , dan panjang $ AC = p $. CK adalah garis tinggi melaui C dan KM adalah garis tinggi dalam $ \Delta AKC $ yang melalui K. Panjang AM = ....
A). $ p \sin ^2 (\beta + \gamma ) \, $
B). $ -p\sin \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
C). $ -p \cos \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
D). $ -p \cos (\beta + \gamma ) \sin (\beta + \gamma ) \, $
E). $ p \cos ^2 (\beta + \gamma ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan kuadran :
$ \cos ( 180^\circ - x ) = -\cos x $
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :  


$ \angle B = \beta , \, \angle C = \gamma $ dan $ AC = p $
*). Perhatikan segitiga ABC :
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + \beta + \gamma & = 180^\circ \\ \angle A & = ( 180^\circ - (\beta + \gamma)) \\ \cos \angle A & = \cos ( 180^\circ - (\beta + \gamma)) \\ \cos \angle A & = - \cos (\beta + \gamma) \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AMK :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AM}{AK} \\ AM & = AK . \cos A = AK . (-cos (\beta + \gamma)) \\ AM & = -AK . \cos (\beta + \gamma) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AKC :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AK}{AC} \\ AK & = AC . \cos A = p . (-cos (\beta + \gamma)) \\ AM & = -p \cos (\beta + \gamma) \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} AM & = -AK . \cos (\beta + \gamma) \\ & = -( -p \cos (\beta + \gamma)) . \cos (\beta + \gamma) \\ & = p \cos ^2 (\beta + \gamma) \end{align} $
Jadi, nilai $ AM = p \cos ^2 (\beta + \gamma) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar