Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
Kurva $ y = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ memotong asimtot datarnya 2 kali jika .....
A). $ a < 8 \, $ B). $ a < 6 \, $ C). $ a < 4 \, $
D). $ a > 4 \, $ E). $ a > 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^2 + ...}{dx^3 + ... } = 0 $.
(hasilnya nol karena pangkat penyebut lebih besar dari pembilang)
*). Bentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki dua akar berbeda jika $ D > 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} \\ y & = 0 \end{align} $
sehingga persamaan asimtotnya yaitu $ y = 0 \, $ (sama dengan sumbu X).
*). Titik potong $ y_1 = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ dan $ y_2 = 0 $ yaitu :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} & = 0 \\ x^2+4x+a & = 0 \end{align} $
*). Agar kurva $ y = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ memotong $ y = 0 $ dua kali, maka terdapat dua nilai $ x $ yang berbeda, atau bisa kita katakan $ x^2 + 4x + a = 0 $ harus memiliki dua akar yang berbeda.
*). Menyelesaikan syarat dua akar $ x^2 + 4x + a = 0 $ :
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ 4^2 - 4.1.a & > 0 \\ 16 - 4a & > 0 \\ - 4a & > -16 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ a & < 4 \end{align} $
Jadi, syarat nilai $ a $ adalah $ a < 4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar