Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 222

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2+bx + c $ dengan $ f(0) = 2 $. Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{2x - 4} = \frac{1}{2} $, maka $ a + b + c = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ f(0) = 2 $ :
$ f(x) = ax^2+bx + c \rightarrow a.0^2 + b.0 + c = 2 \rightarrow c = 2 $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{2x - 4} = \frac{1}{2} $ dengan penyebut bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 2 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(2) = 0$ .
$ f(2) = 0 \rightarrow a.2^2 + b.2 + 2 = 0 \rightarrow 2a + b = -1 \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{2x - 4} & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2ax + b}{2} & = \frac{1}{2} \\ \frac{2a.2 + b}{2} & = \frac{1}{2} \\ \frac{4a + b}{2} & = \frac{1}{2} \\ 4a + b & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 4a + b = 1 & \\ 2a + b = -1 & - \\ \hline 2a = 2 & \\ a = 1 & \end{array} $
pers(i): $ 2a + b = -1 \rightarrow 2.1 + b = -1 \rightarrow b = -3 $.
Sehinga nilai $ a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar