Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik Q dan R masing-masing adalah titik tengah CD dan CB. Jika T adalah perpotongan QR dan AC, dan S adalah proyeksi T pada bidang AFH, maka panjang AS sama dengan ...
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{6} \, $ B). $ \frac{a}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{a}{2}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $ dan $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times $ tinggi.
*). Hasil proyeksi titik A ke sebuah bidang adalah sebuah titik S pada bidang dimana garis AS tegak lurus dengan bidangnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Panajng rusuk kubus $ = a $
-). Panjang $ AC = a\sqrt{2} $ dan $ UV = a $
-). Panjang $ EU = \frac{1}{2}EG = \frac{1}{2}a\sqrt{2} $
-). Perhatikan alas kubus yaitu ABCD.
Panjang $ AT = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Segitiga AEU siku-siku di E :
$ \begin{align} AU & = \sqrt{AE^2 + EU^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4} } = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} } \\ & = \frac{6a^2}{4} = \frac{a}{2}\sqrt{6} \end{align} $
*). Panjang ST pada segitiga ATU dengan konsep luas segitiga ATU :
$ \begin{align} \text{Luas ATU (alas AU) } & = \text{ Luas ATU (alas AT) } \\ \frac{1}{2}.AU. ST & = \frac{1}{2}.AT.UV \\ AU. ST & = AT.UV \\ \frac{a}{2}\sqrt{6} . ST & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ ST & = \frac{\frac{3}{4}a\sqrt{2} . a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{3}}a = \frac{a}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Panjang AS pada segitiga AST siku-siku di S :
$ \begin{align} AS & = \sqrt{ AT^2 - ST^2} \\ & = \sqrt{ \left( \frac{3}{4}a\sqrt{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2}\sqrt{3} \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{3a^2}{4} } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{12a^2}{16} } \\ & = \sqrt{ \frac{6a^2}{16} } = \frac{a}{4} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ AS = \frac{a}{4} \sqrt{6} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban di optionnya).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar