Pembahasan Fungsi Invers UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f^{-1} $ adalah invers fungsi $ f $ dengan $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ , maka $ \frac{f(x-2)-f^{-1}(x)}{2} = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{x}+2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ \frac{1}{x} - 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(bentuk invers di inverskan lagi maka kembali ke fungsi awal atau inversnya hilang).
*). Cara menentukan invers fungsi yaitu dengan permisalan.
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ menjadi $ f^{-1} (x) $ :
Misalkan : $ 1 - x = p \rightarrow x = 1 - p $
$\begin{align} f^{-1}(1-x) & = \frac{2x-1}{1-x} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2(1-P)-1}{1-(1-p)} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2 - 2p - 1}{1- 1 + p} \\ f^{-1}(p) & = \frac{1 - 2p}{p} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1 - 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - \frac{ 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ f(x) $ dari $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ yaitu dengan menginverskan bentuk $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ :
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \\ y & = \frac{1}{x} - 2 \\ \frac{1}{x} & = y + 2 \\ x & = \frac{1}{y+2} \\ [f^{-1}(x)]^{-1} & = \frac{1}{x+2} \\ f(x) & = \frac{1}{x+2} \\ \end{align} $
Sehingga : $ f(x-2) = \frac{1}{(x-2)+2} = \frac{1}{x } $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$\begin{align} \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} & = \frac{ \frac{1}{x } - (\frac{1}{x} - 2) }{2} \\ & = \frac{ \frac{1}{x } - \frac{1}{x} + 2 }{2} \\ & = \frac{ 2 }{2} = 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar