Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $.
Jika jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ dan $ a < 0 $, maka $ b = ...$
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika suatu titik dilalui oleh suatu persamaan, maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan tersebut.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
$\, \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1 ) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Jika suatu titik dilalui oleh suatu persamaan, maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan tersebut.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
$\, \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1 ) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ ( - 1,a) $ ke fungsi kuadrat :
$\begin{align} (x,y) = (-1,a) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ a & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a & = a -b + c \\ c & = b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 3 \\ (\frac{-b}{a})^2 - 2. \frac{c}{a} & = 3 \\ \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } a^2 ) \\ b^2 - 2ac & = 3a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (x_1,y_1) = (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $
-). Gradien : $ f^\prime (x) = 2ax + b $
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-1) = 2a.(-1) + b = -2a + b $
-). Menyusun persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - a & = (-2a+b)(x-(-1)) \\ y - a & = (-2a+b)(x+1) \end{align} $
-). Substitusi titik $ (x,y) = (0,3) $ ke garis :
$\begin{align} y - a & = (-2a+b)(x+1) \\ 3 - a & = (-2a+b)(0+1) \\ 3 - a & = -2a+b \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 2ac & = 3a^2 \\ b^2 - 2ab & = 3a^2 \\ (a+3)^2 - 2a(a+3) & = 3a^2 \\ a^2 + 6a + 9 - 2a^2 - 6a & = 3a^2 \\ 4a^2 - 9 & = 0 \\ (2a + 3)(2a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka $ a = -\frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(iii) :
$\begin{align} b & = a + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $
*). Substitusi titik $ ( - 1,a) $ ke fungsi kuadrat :
$\begin{align} (x,y) = (-1,a) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ a & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a & = a -b + c \\ c & = b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 3 \\ (\frac{-b}{a})^2 - 2. \frac{c}{a} & = 3 \\ \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } a^2 ) \\ b^2 - 2ac & = 3a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (x_1,y_1) = (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $
-). Gradien : $ f^\prime (x) = 2ax + b $
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-1) = 2a.(-1) + b = -2a + b $
-). Menyusun persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - a & = (-2a+b)(x-(-1)) \\ y - a & = (-2a+b)(x+1) \end{align} $
-). Substitusi titik $ (x,y) = (0,3) $ ke garis :
$\begin{align} y - a & = (-2a+b)(x+1) \\ 3 - a & = (-2a+b)(0+1) \\ 3 - a & = -2a+b \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 2ac & = 3a^2 \\ b^2 - 2ab & = 3a^2 \\ (a+3)^2 - 2a(a+3) & = 3a^2 \\ a^2 + 6a + 9 - 2a^2 - 6a & = 3a^2 \\ 4a^2 - 9 & = 0 \\ (2a + 3)(2a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka $ a = -\frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(iii) :
$\begin{align} b & = a + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.