Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua bilangan real $ x > 1 $ yang memenuhi $ \frac{x^2-3x+4}{-x+3}>x $ adalah $ \{x | x \in R , a < x < b \} $ . Nilai $ a + b = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ x > 1 $ , ini adalah nilai $ x $ sebagai domain yang harus terpenuhi sehingga kita anggap sebagai $ HP_1 = \{ x > 1 \} $
*). Menyelesaikan Pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-3x+4}{-x+3} & > x \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - x & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{x(-x+3)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{-x^2 + 3x}{-x+3} & > 0 \\ \frac{(x^2-3x+4)-(-x^2 + 3x)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2x^2-6x+4}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x^2-3x+2)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x-1)(x-2)}{-x+3} & > 0 \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 2(x-1)(x-2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
Akar penyebutnya : $ -x+3 = 0 \rightarrow x = 3 $
Garis bilangannya :
 

sehingga $ HP_2 = \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x > 1 \} \cap \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} \\ & = \{ 2 < x < 3 \} \end{align} $
*). Solusi $ \{ 2 < x < 3 \} $ sama dengan $ \{ a < x < b \} $ , sehingga $ a = 2 $ dan $ b = 3 $.
Nilai $ a + b = 2 + 3 = 5 $
Jadi, nilai $ a + b = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar